Enunciado

Ache o número no intervalo 1 3 ,   2 ,   tal que a soma do número com seu recíprco seja um máximo.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

O recíproco de um número é o ele mesmo elevado a - 1 . Então temos que maximizar a equação:

S x = x + x - 1 = x + 1 x

Passo 3

Derivando essa equação ficamos com:

d S d x = 1 - 1 x 2

Não precisamos nos preocupar com o ponto x = 0 , pois ele não está no nosso intervalo. Igualando essa função a 0 :

1 - 1 x 2 = 0

1 x 2 = 1

x 2 = 1

x = 1       o u       x = - 1

Por conta do nosso intervalo, podemos excluir o valor de x = - 1 .

Passo 4

Vamos agora verificar se realmente esse é um máximo ou se o máximo está em um dos limites do intervalo. Vamos fazer S 1 3 ,   S 2 e S ( 1 ) .

S 1 3 = 1 3 + 1 1 3 = 1 3 + 3 = 3.33

S 1 = 1 + 1 1 = 2

S 2 = 2 + 1 2 = 2.5

Daí vemos que o máximo está em 1 3 e que x = 1 é um mínimo!

Resposta

1 3

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