Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x + 1 2 3 ; - 2 ,   1

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Derivando a f :

d f d x = d d x x + 1 2 3

Pela regra da cadeia:

d f d x = 2 3 x + 1 - 1 3 = 2 3 x + 1 1 3

Passo 3

Essa derivada nunca se iguala a 0 ! Mas existe um ponto onde ela não existe: x = - 1 . Perceba que a derivada da função é negativa até esse ponto e depois ela fica positiva, o que quer dizer que a função estava decrescente e a partir de x = - 1 ela começou a crescer, o que significa que temos um mínimo absoluto em x = - 1 .

f - 1 = - 1 + 1 2 3 = 0

Passo 4

Como em nenhum outro ponto a derivada se iguala a 0 ou não existe, o máximo absoluto da função estará em algum dos limites do intervalo. Vamos fazer f ( - 2 ) e f ( 1 )

f - 2 = - 2 + 1 2 3 = 1

E

f 1 = 1 + 1 2 3 = 4 3   ~   1.587

Então 1 ,   4 3 é o nosso outro valor extremo.

Passo 5

Para o esboço da nossa função vamos usar o que temos. Sabemos que é uma função raiz, então a variação dela será lenta para os valores distantes grandes. Poderíamos concluir isso também a partir da derivada da função, que é inversamente proporcional a x + 1 1 3 . Então vamos ter uma função que começa em ( - 2 ,   1 ) e vai decrescente até - 1 ,   0 . Daí ela vai começar a subir novamente até chegar em 1 ,   4 3 . Nosso esboço fica assim:

Resposta

Mín. absoluto: - 1 ,   0

Máx. absoluto: 1 ,   4 3

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