Enunciado

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.

Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

O A C em torno da reta B C

Passo 1

A figura que ele deu é:

Com a curva

y 2 = x 3

Aqui, queremos o colume de O A C em torno da reta B C .

Como estamos trabalhando com rotação no eixo paralelo ao x , devemos olhar o intervalo de variação nele. Vamos ter, pelo gráfico:

x = 0

x = 4

Para acharmos a função em x , já que estamos rodando paralelo ao eixo x , vamos isolar o y

y 2 = x 3 → y = x 3 2

Na verdade aqui, temos duas regiões. Uma da Curva O C até a reta B C , e outra da retra O A até a reta B C .

O volume vai ser a subtração dessas duas:

V = V 1 - V 2

Onde:

da Curva O C até a reta B C → V 1

da retra O A até a reta B C → V 2

Vamos ver os raios de cada região:

r 1 x = 8 - x 3 2

Da vermelha para a verde, vamos ter:

r 2 x = 8

O volume vai ser a subtração dos dois volumes,

V = V 1 - V 2

V 1 = ∫ 0 4 π 8 - x 3 2 2 d x = ∫ 0 4 π 64 - 16 x 3 2 + x 3 d x

V 2 = ∫ 0 4 π 8 2 d x = ∫ 0 4 π 64 d x

Passo 2

Vamos resolver essas integral:

V 2 = ∫ 0 4 π 64 d x = 64 π ∫ 0 4 d x = 64 π x 0 4 = 64 π 4 - 0 = 256 π

Passo 3

Vamos para a o outro volume:

V 1 = ∫ 0 4 π 64 - 16 x 3 2 + x 3 d x

V 1 = π ∫ 0 4 64 - 16 x 3 2 + x 3 d x

Primeiro, vamos fazer:

∫ 64 - 16 x 3 2 + x 3 d x = 64 x - 16 x 3 2 + 1 3 2 + 1 + x 4 4 + C = 64 x - 16 x 5 2 5 2 + x 4 4 + C =

64 x - 16 2 5 x 5 2 + x 4 4 + C = 64 x - 32 5 x 5 2 + x 4 4 + C

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ 0 4 64 x - 32 5 x 5 2 + x 4 4 d x = π 64 x - 32 5 x 5 2 + x 4 4 0 4 =

π 64.4 - 32 5 4 5 2 + 4 4 4 - π 64.0 - 32 5 0 5 2 + 0 4 4

Lembrando que:

4 5 2 = 4 5 = 2 5 = 32

Voltando para as contas:

π 256 - 1024 5 + 64 =

576 π 5

Passo 4

Nosso volume vai ficar:

V = V 1 - V 2 = 256 π - 576 π 5 = 704 π 5

Resposta

704 π 5

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