Enunciado

Ache o volume do sólido de revolução gerado ao girar em torno do eixo y a região limitada pela curva y = ln ⁡ 2 x , pelo eixo x e pela reta x = e .

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido obtido pela revolução da região limitada pela curva y = ln ⁡ 2 x e as retas x = e e y = 0 em torno do eixo y . Um esboço dessa região é dado a seguir:

Como o sólido é girado em torno do eixo y , a integração será feita na variável y . Neste caso, o volume do sólido de revolução é dado por

V = ∫ a b π   R 2 - r 2   d y ,

onde r e R são os “raios” ( x como função de y ) das seções circulares que são integradas para dar o volume. Neste caso, R = e . Para achar r , precisamos exprimir x em função de y na equação y = ln ⁡ 2 x :

2 x = e y ⇒ x = 1 2 e y

Já para os limites de integração, a = 0 enquanto b é obtido pela interseção da reta x = e com a curva x = 1 2 e y :

1 2 e y = e ⇒ e y = 2 e

Tomando l n nos dois lados:

ln ⁡ e y = ln ⁡ 2 e ⇒ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ e = 1 + ln ⁡ 2

Portanto, b = 1 + ln ⁡ 2 . Assim, o volume será

V = π ∫ 0 1 + ln ⁡ 2 e 2 - 1 4 e 2 y d y

Passo 2

Efetuando a integral:

V = π   e 2 y - 1 8 e 2 y 0 1 + ln ⁡ 2

Assim,

V = π e 2 1 + ln ⁡ 2 - 0 - 1 8 e 2 + 2 ln ⁡ 2 - 1

Note que

e 2 + 2 ln ⁡ 2 = e 2   e 2 ln ⁡ 2 = e 2   e ln ⁡ 4 = 4 e 2

Logo,

V = π e 2 + e 2 ln ⁡ 2 - 1 8 ⋅ 4 e 2 + 1 8

Portanto,

V = π   e 2 2 + e 2 ln ⁡ 2 + 1 8

Resposta

π   e 2 2 + e 2 ln ⁡ 2 + 1 8

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