Enunciado

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Duas substâncias químicas A e B reagem para formar a substância C e taxa de variação da quantidade C é proporcional ao produto das quantidades de A e B restantes em cada instante dado. Inicialmente, existem 60   g de A e 60   g de B. Para formar 5   g de C são necessários 3   g de A e 2   g de B. Após 1   h , foram formados 15   g de C.

(a) Se x   g de C são formados após t   h , ache uma expressão para x em termos de t .

(b) Ache a quantidade C após 3   h .

Passo 1

A questão fornece uma reação química do tipo A + B → C e diz que a taxa de variação da quantidade C é proporcional ao produto das quantidades A e B restantes. Assim, como x denota a quantidade de C , temos que

d x d t = k ⋅ A ⋅ B ,

onde k é uma constante de proporcionalidade e A e B são as quantidades restantes das substâncias A e B, respectivamente. O que falta é relacionar A e B com x .

O enunciado disse que para 5   g de C, são consumidos 3   g de A e 2   g de B. Assim, se forem produzidos x   g de C, 3 x 5   g são oriundos de A e 2 x 5   g de B. Desta forma, como tínhamos inicialmente 60   g de A e 60   g de B, as quantidades restantes serão

A = 60 - 3 x 5             e               B = 60 - 2 x 5

Portanto,

d x d t = k   60 - 3 x 5 60 - 2 x 5 = k 25 300 - 3 x 300 - 2 x

Logo,

d x d t = k 25 ⋅ 3 ⋅ 2   100 - x 150 - x = 6 k 25 ( 100 - x ) ( 150 - x )

Como k é uma constante que será determinada posteriormente, podemos trocá-la por 6 k / 25 e a equação é reescrita como

d x d t = k ( 100 - x ) ( 150 - x )

Essa equação diferencial é separável, de modo que

d x 100 - x ( 150 - x ) = k   d t

Passo 2

Para resolver essa equação, basta integrar dos dois lados

∫ 1 ( 100 - x ) ( 150 - x )   d x = ∫ k   d t = k t + C

A integral da direita é calculada por frações parciais:

1 ( 100 - x ) ( 150 - x ) = A 100 - x + B 150 - x = 150 A - A x + 100 B - B x ( 100 - x ) ( 150 - x )

Assim,

150 A + 100 B = 1 - A - B = 0

Resolvendo esse sistema, tiramos que A = - B :

- 150 B + 100 B = 1 ⇒ - 50 B = 1 ⇒ A = - B = 1 50

Portanto,

∫ 1 ( 100 - x ) ( 150 - x )   d x = 1 50 ∫ 1 100 - x - 1 150 - x d x

Assim,

∫ 1 ( 100 - x ) ( 150 - x )   d x = 1 50 - ln ⁡ 100 - x + ln ⁡ 150 - x

Repare que os sinais foram invertidos na integração: isso ocorreu pois os argumentos dos logaritmos são do tipo a - x e não a + x , então pela regra da cadeia aparece esse sinal de que inverte tudo!

Desta forma,

∫ 1 ( 100 - x ) ( 150 - x )   d x = 1 50 ln ⁡ 150 - x 100 - x

Portanto,

1 50 ln ⁡ 150 - x 100 - x = k t + C ⇒ ln ⁡ 150 - x 100 - x = 50 k t + C '

Tomando a exponencial dos dois lados:

150 - x 100 - x = e 50 k t + C ' = e C ' ⋅ e 50 k t

Definindo A = ± e C ' , temos que

150 - x 100 - x = A e 50 k t

Passo 3

Agora precisamos achar as constantes A e k . Inicialmente não temos nada da substância C, isto é, em t = 0 , x = 0 :

150 - 0 100 - 0 = A e 0 ⇒ A = 150 100 = 15 10 = 3 2

Além disso, em t = 1 , temos x = 15 :

150 - 15 100 - 15 = 3 2 e 50 k ⇒ 135 85 = 3 2 e 50 k ⇒ 27 17 = 3 2 e 50 k

Portanto,

e 50 k = 18 17

Aplicando l n dos dois lados:

50 k = ln ⁡ 18 17

Assim,

150 - x 100 - x = 3 2 e ln ⁡ 18 17   t = 3 2 e ln ⁡ 18 17 t = 3 2 18 17 t

Assim,

150 - x 100 - x = 3 2 18 17 t = h

Chamei h = 3 2 18 17 t para simplificar um pouco as contas. Multiplicando em cruz:

150 - x = 100 h - h x ⇒ h - 1 x = 100 h - 150 ⇒ x = 100 h - 150 h - 1

Portanto, a expressão para a quantidade de produto C em função do tempo é

x t = 100 ⋅ 3 2 18 17 t - 150 3 2 18 17 t - 1

Assim,

x t = 150   18 17 t - 1 3 2 18 17 t - 1 = 300 18 17 t - 1 3 18 17 t - 2

Passo 4

Para o item (b), basta fazer t = 3 :

x 3 = 300   18 3 17 3 - 1 3 ⋅ 18 3 17 3 - 2 = 300   18 3 - 17 3 3 ⋅ 18 3 - 2 ⋅ 17 3

Portanto, com ajuda de uma calculadora:

x 3 ≈ 35,9

Resposta

x t = 300 18 17 t - 1 3 18 17 t - 2             e                 x 3 ≈ 35,9

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