Enunciado

Calcule a integral

int_(- 1)^0 (3 d x)/(3 x - 2)

Passo 1

A questão nos pede para resolver integrais que envolvem funções logarítmicas. O que precisamos lembrar é que:

int (1)/(x) d x = ln |x| + k

Quaisquer outras técnicas de integração necessária para a resolução serão relembradas pontualmente.

Passo 2

A integral indefinida associada ao problema é:

int (3 d x)/(3 x - 2)

Vamos começar fazendo uma mudança de variáveis. Se u = 3 x - 2 , d u = 3 d x . Portanto, teremos:

int (3 d x)/(3 x - 2) = int (d u)/(u)

Passo 3

Resolvendo a integral acima, temos:

int (d u)/(u) = ln |u| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln |u| + k = ln |3 x - 2| + k

Portanto, a integral definida associada ao nosso problema é:

int_(- 1)^0 (3 d x)/(3 x - 2) = [ln |3 x - 2|]_(- 1)^0

int_(- 1)^0 (3 d x)/(3 x - 2) = ln |- 2| - ln |- 5|

int_(- 1)^0 (3 d x)/(3 x - 2) = ln ((2)/(5))

Resposta

int_(- 1)^0 (3 d x)/(3 x - 2) = ln ((2)/(5))

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