Enunciado

De acordo com a Lei do Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio ambiente. A figura a seguir mostra o gráfico da temperatura T (em graus Fahernheit) versus o tempo t (em minutos) para uma xícara de café inicialmente a 200 ° F, deixada para esfriar em uma sala com uma temperatura constante de 75 ° F.

  1. Estime T e d T d t quando t = 10 min.
  2. A Lei do Resfriamento de Newton pode ser expressa por

d T d t = k T - T 0

onde k é a constante de proporcionalidade e T 0 , a temperatura do meio ambiente (constante, por hipótese). Use os resultados de (a) para estimar o valor de k .

Passo 1

  1. Analisando o gráfico, nós vemos que quando t = 10 a temperatura é igual a T = 115 .
  2. Já para estimar d T d t vamos achar a inclinação nesse ponto usando:

    d T d t = f x - f x 0 x - x 0

    Onde x , f x = 10 , 115 e x 0 , f x 0 = 0 , 145 são pontos da reta tangente, vamos substituir então:

    d T d t = f x - f x 0 x - x 0 = 115 - 145 10 - 0 = - 30 10 = - 3

    Passo 2

  3. Para estimar o valor de k é simples, vamos substituir os valores que achamos em:

d T d t = k T - T 0

E temos que T 0 é a temperatura inicialmente a 200 ° F, vamos lá então:

d T d t = k T - T 0 → - 3 = k 115 - 200 → k = - 3 - 85 → k ≈ 0,03 5

Resposta

  1. T = 115 e d T d t = - 3
  2. k ≈ 0,035
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Nos exercícios de 1 a 24, derive a função dada, aplicando os teoremas desta secção.9. F x = 1 4 t 4 - 1 2 t 2
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