Enunciado

Admita que, para todo (x , y) .

x (del f)/(del x) (x , y) - y (del f)/(del y) (x , y) = 0 .

Mostre que g (t) = f (t , (2)/(t)) , t > 0 , é constante.

Passo 1

Para mostrar que g (t) é constante, basta mostrar que a derivada de g (t) resulta em zero.

g (t) = f (t , (2)/(t))

(g (t))^' = (f (t , (2)/(t)))^'

g^' (t) = (del f)/(del x) (t , (2)/(t)) * 1 + (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (- (2)/(t^2))

g^' (t) = (del f)/(del x) (t , (2)/(t)) - (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (2)/(t^2)

Precisamos arranjar uma forma para que a nossa g^' (t) fique parecida com

x (del f)/(del x) (x , y) - y (del f)/(del y) (x , y) = 0

Multiplicando t em ambos os lados da equação,

t * g^' (t) = t * ((del f)/(del x) (t , (2)/(t)) - (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (2)/(t^2))

t * g^' (t) = t * (del f)/(del x) (t , (2)/(t)) - (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (2)/(t)

Agora que está parecido, podemos substituir,

t * g^' (t) = 0

g^' (t) = (0)/(t)

g^' (t) = 0

:. g (t) é constante.

Resposta

g (t) é constante.

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Supondo que as funções diferenciáveis y = f ( x ) e z = z x ,z0 , sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d y d x e d z d x .a) x 2 + y 2 + z 2 = 4 x + y + z = 2