Derivação Implícita

Teoria Completa

Introdução

Você já deve ter estudado derivação implícita pra funções de uma variável. E se não tiver não tem problema porque vamos dar uma relembrada agora! E depois vamos estender esse conceito pra funções de duas variáveis, show?

Funções de uma variável

Esse é o caso onde temos uma função y = y x definida implicitamente. Por exemplo:

y 3 + x 2 + sen ⁡ y = 1

Pra achar y ' x , o que fazemos é simplesmente derivar a expressão toda em relação a x :

y 3 ' + x 2 ' + sen ⁡ y ' = 1 '

Aplicando a regra da cadeia, isso dá:

3 y 2 y ' + 2 x + cos ⁡ y y ' = 0

Depois basta isolar o y ' :

y ' 3 y 2 + cos ⁡ y = - 2 x

⇒ y ' = - 2 x 3 y 2 + cos ⁡ y

Repare que y ' fica em função tanto de x quanto de y . Na maioria dos casos vai ser assim mesmo, não conseguimos isolar y ' somente em função de x .

Teorema da função implícita

Dito isso, agora vamos ao que interessa!

Num primeiro momento, vamos ver como derivar implicitamente funções como essa do exemplo acima, mas usando conhecimentos de funções de duas variáveis.

Vamos direto pra um exemplo. Queremos achar y ' x e temos a equação abaixo:

x y + y 3 = y cos ⁡ x + 6

Repare que só temos duas variáveis, x e y , então dá pra derivar isso daí implicitamente que nem já aprendemos antes.

Mas agora vamos ver uma forma mais vantajosa de derivar, através do teorema da função implícita. O passo a passo é o seguinte:

1) Jogar tudo pra esquerda, deixando zero do lado direito

x y + y 3 - y cos ⁡ x - 6 = 0

2) Chamar o lado esquerdo de F x , y

F x , y = x y + y 3 - y cos ⁡ x - 6

3) Calcular derivadas parciais de F

F x x , y = y + y sen ⁡ x

F y x , y = x + 3 y 2 - cos ⁡ x

4) Aplicar Teorema da Função Implícita

Ele é dado pela fórmula:

y ' x = - F x x , y F y x , y

Simples né? Então aqui vamos ter

y ' x = - y - y sen ⁡ x x + 3 y 2 - cos ⁡ x

E pronto! :)

Repare que nesse caso a fórmula realmente é vantajosa: se a gente fosse derivar implicitamente da forma tradicional, as derivadas seriam um pouco mais complicadas, teríamos que aplicar a regra do produto pra achar x y ' e y cos ⁡ x ' .

Nesse exemplo nem fez taanta diferença porque a equação era relativamente simples, mas em alguns casos esse teorema pode te salvar!

Funções de duas variáveis

Agora vamos ver como derivar implicitamente quando acrescentamos uma variável na brincadeira. Se antes tínhamos x e y = y x , agora vamos ter por exemplo x ,   y e z = z x , y .

E novamente teremos o nosso querido Teorema da Função Implícita à disposição. Na verdade o procedimento é bem parecido com o que vimos agora a pouco.

Por exemplo, vamos calcular ∂ z ∂ x x , y e ∂ z ∂ y x , y tendo z definido implicitamente pela equação:

x 3 + 3 y 2 + 8 x z 2 = 3 z 3 y + 9

1) Jogar tudo pra esquerda, deixando zero do lado direito

x 3 + 3 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y - 9 = 0

2) Chamar o lado esquerdo de F x , y , z

F x , y , z = x 3 + 3 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y - 9

3) Calcular derivadas parciais de F

F x x , y , z = 3 x 2 + 8 z 2

F y x , y , z = 6 y - 3 z 3

F z x , y , z = 16 x z - 9 z 2 y

4) Aplicar Teorema da Função Implícita

Agora a fórmula dele é a seguinte:

∂ z ∂ x x , y = - ∂ F ∂ x x , y ∂ F ∂ z x , y ∂ z ∂ y x , y = - ∂ F ∂ y x , y ∂ F ∂ z x , y

Ou, com uma notação simplificada:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Tranquilo? Então no nosso exemplo isso dá

z x = - 3 x 2 - 8 z 2 16 x z - 9 z 2 y

z y = 3 z 3 - 6 y 16 x z - 9 z 2 y

Pronto, só isso!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere a curva dada por

3 x 2 + x 2 y 2 + x y = 5

Calcule y ' x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

3 x 2 + x 2 y 2 + x y - 5 = 0

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y :

F x , y = 3 x 2 + x 2 y 2 + x y - 5

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 6 x + 2 x y 2 + y

F y = 2 y x 2 + x

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

y ' x = - F x F y

⇒ y ' x = - 6 x - 2 x y 2 - y 2 y x 2 + x

Resposta

y ' x = - 6 x - 2 x y 2 - y 2 y x 2 + x

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, exercício 3 p. 316 (modificado)

A equação x + z + y + z 2 = 6 define z implicitamente como função de x e y . Calcule ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y ,   ∂ 2 z ∂ x ∂ y e ∂ 2 z ∂ y ∂ x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

x + z + y + z 2 - 6 = 0

Podemos expandir o quadrado pra simplificar:

x + z + y 2 + 2 y z + z 2 - 6 = 0

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = x + z + y 2 + 2 y z + z 2 - 6

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 1

F y = 2 y + 2 z

F z = 1 + 2 y + 2 z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - 1 1 + 2 y + 2 z

∂ z ∂ y = - 2 y - 2 z 1 + 2 y + 2 z

Passo 5

Ainda falta achar as derivadas de segunda ordem mistas. Então fazemos

∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ z ∂ x = 2 1 + 2 y + 2 z 2

E pra outra derivada mista:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ z ∂ y = 0

Opa, as derivadas mistas deram diferente! Lembre-se, elas nem sempre são iguais! Enfim, achamos o que queríamos.

Resposta

∂ z ∂ x = - 1 1 + 2 y + 2 z

∂ z ∂ y = - 2 y - 2 z 1 + 2 y + 2 z

∂ 2 z ∂ y ∂ x = 2 1 + 2 y + 2 z 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Seja

3 x 3 y z - z 2 y = sen ⁡ x z + e 2 x y 2

Calcule as derivadas parciais de z em relação a x e y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

3 x 3 y z - z 2 y - sen ⁡ x z - e 2 x y 2 = 0

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = 3 x 3 y z - z 2 y - sen ⁡ x z - e 2 x y 2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 9 x 2 y z - z cos ⁡ x z - 2 y 2 e 2 x y 2

F y = 3 x 3 z - z 2 - 4 x y e 2 x y 2

F z = 3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Logo,

∂ z ∂ x x , y = - 9 x 2 y z + z cos ⁡ x z + 2 y 2 e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

∂ z ∂ y x , y = - 3 x 3 z + z 2 + 4 x y e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

Pronto, achamos, é esse negócio feio mesmo!

Resposta

∂ z ∂ x x , y = - 9 x 2 y z + z cos ⁡ x z + 2 y 2 e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

∂ z ∂ y x , y = - 3 x 3 z + z 2 + 4 x y e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

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