Enunciado

Água está sendo armazenada em um reservatório cônico (vértice para baixo). Supondo que a água evapora a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar, mostre que sua profundidade irá decrescer a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório.

Passo 1

Vamos falar que a água dentro do reservatório forma um cone com altura h , raio r   e volume V .

De forma que pela fórmula do volume do cone podemos falar que:

V = 1 3   π r 2 h

Passo 2

Como o enunciado fala sobre a velocidade com que profundidade muda, parece útil derivarmos essa expressão em relação ao tempo, pra aparecer o d h / d t que representa exatamente o que nos interessa. Fazendo isso fica assim:

d V d t   = d d t 1 3   π r 2 h = π 3 d r 2 h d t  

Usando a regra da derivada do produto, vamos ter:

d V d t   = π 3 d r 2 d t   h + r 2   d h d t

Pela regra da cadeia:

d V d t   = π 3 d r 2 d r d r d t     h + r 2   d h d t

d V d t   = π 3 2 r h d r d t + r 2   d h d t

Chegamos que

d V d t     = π r 3 2 h d r d t + r   d h d t                                           e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 3

Mas aí apareceu um tal de d r / d t que não temos e nem estamos interessados, mas podemos derivar a tangente do ângulo do vértice do cone pra relacionar ele com d h d t

tan ⁡ θ = r h       ⇒     h tan ⁡ θ = r

d d t h tan ⁡ θ = d r d t

Como o ângulo θ não varia:

tan ⁡ θ   d h d t = d r d t                                   e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 4

Mas o que significa falar que que a água evapora a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar? A taxa com que a água evapora nada mais é do que a taxa de variação do volume, e essa taxa é proporcional a área da superfície exposta ao ar:

d V d t = k   Á r e a = k   π r 2                         e q u a ç ã o   3

Aonde k   é a constante de proporcionalidade.

Passo 5

Agora vamos juntar todas as nossas equações:

d V d t     = π r 3 2 h d r d t + r   d h d t                                           e q u a ç ã o   ( 1 )

tan ⁡ θ   d h d t = d r d t                                                     e q u a ç ã o   ( 2 )

d V d t = k   π r 2                                                       e q u a ç ã o   3

Substituindo (2) e (3) em (1) pra deixar tudo em função de d h / d t :

k   π r 2     = π r 3 2 h tan ⁡ θ   d h d t + r   d h d t

k   r   = 1 3 2 h tan ⁡ θ   d h d t + r   d h d t

k r = 1 3 d h d t 2 h tan ⁡ θ   + r  

d h d t = 3 k r 2 h tan ⁡ θ   + r

Esse é um momento que a gente fica muito triste, porque fizemos tudo certinho, mas o d h / d t   ainda ta dependendo de r e h . Masss lembra que h tan ⁡ θ = r   ?? Bora jogar isso ali dentro:

d h d t = 3 k r 2 ( r ) + r = 3 k r 3 r  

d h d t = 3 k

Opaaa opaaa está provado o que o enunciado pediu, d h / d t   constante que não depende das dimensões do reservatório.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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