Enunciado

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4 / 3 do raio da base.

  1. Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base;
  2. Se o raio da base varia a uma taxa de 20   c m / s , qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2   m ?

Passo 1

Vamos para mais uma questão de taxa de variação! Na letra (a) queremos determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. Sabemos que a altura é h = 4 3 r . O volume do cone é igual a:

V = 1 3 h π r 2 = 4 9 π r 3

A taxa de variação do volume em relação ao raio da base é dada por:

d V d r = 4 9 3 π r 2

d V d r = 4 3 π r 2

Passo 2

Na letra (b) queremos a razão de variação do volume quando o raio mede 2   m . A taxa de variação do raio é dada no enunciado e é igual a d r d t = 20   c m / s . Assim,

d V d t = d V d r ⋅ d r d t = 4 3 π r 2 20

d V d t = 80 3 π r 2

Quando r = 200   c m , temos:

d V d t = 80 3 π 200 2

d V d t = 80 3 40000 π

d V d t = 1066666,6 π c m 3 s

d V d t = 1,0666 π   c m 3 / s

Resposta

  1. d V d r = 4 3 π r 2 ;
  2. d V d t = 1,0666 π   c m 3 / s .
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