Enunciado

Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, obliquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

23. x 5 x 2 + 1

Passo 1

Beleza... vamos separar o que ele quer na questão: esboço do gráfico, as assíntotas e os pontos que o gráfico cruza uma assíntota, isso se existir. Da equação x 5 x 2 + 1

Passo 2

Antes de calcular o gráfico, vamos achar as assíntotas para ter uma noção melhor de como essa função vai se comportar.

Começando pela assíntota vertical: ela ocorre para pontos não definidos, por exemplo pontos que o denominador zera ou raiz negativa, no caso da nossa equação não temos nenhum ponto que seja uma singularidade, então não possuímos nenhuma assíntota vertical, ou seja o gráfico não “explode” em nenhum ponto

A assíntota horizontal é calculada fazendo o lim x → ∞ ⁡ x 5 x 2 + 1 e se a gente tiver um valor constante, esse é o ponto da onde temos a assíntota horizontal

Para resolver esse limite vamos dividir pelo denominador de maior potencia, no caso x 2

lim x → ∞ ⁡ x 3 1 + 1 x 2

Substituindo x por , lembrando que divisão por , dá zero, vamos ter :

lim x → ∞ ⁡ ∞   3 1 + 0 =   ∞

Então, como nossa assíntota horizontal não deu um número constante, não temos assíntota horizontal

Como a gente não tem assíntota horizontal, vamos analisar a assíntota oblíqua, um bizu bem bacana pra gente não fazer calculo é que a assíntota obliqua só vai existir quando a diferença entre os graus do numerador e denominador for 1.

Como o grau do numerador é 5 e do denominador é 2, não temos assíntota oblíqua.

A assíntota curvilínea é o quociente da divisão entre os polinômios de f ( x ) que vai ser a divisão entre os polinômios x 5 - 8 dividido por x 2 + 1 , fazendo a divisão entre os polinômios, achamos que o quociente dessa divisão é x 3 - x .

Passo 3

Agora que já temos as assíntotas, vamos fazer um esboço do gráfico.Sabemos que ele não explode em nenhum ponto, pois não temos assíntota vertical; ele não tem assíntota horizontal mas tem curvilínea, que é a curva x 3 - x .

No gráfico, a linha solida verde é nosso gráfico e a linha azul pontilhada a nossa assíntota curvilínea!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = x 2 + 12 x - 2
Use o comportamento assintótico de f x = cos ⁡ x +1 / x 2 para esboçar seu gráfico sem seguir o roteiro de esboço de curvas desta seção.
Mostre que a curva y = x 2 + 4 x tem duas assíntotas oblíquas: y = x + 2 e y = - x - 2 . Use esse fato para esboçar a curva.
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = ( x + 1 ) 3 ( x - 1 ) 2
Discuta o comportamento assintótico de f x = ( x 4 + 1 ) / x da mesma forma que no Exercício 70 . Use então seus resultados para auxiliá-lo no esboço do gráfico f .