Enunciado

Determine o valor médio de f   sobre o retângulo dado:

f x , y = x 2 y ,   R possui vértices - 1,0 ,   - 1,5 ,   1,5 ,   1,0 .

Passo 1

O valor médio a gente acha fazendo:

1 A ( R ) ∬ R f x , y d A

Vamos lá, a gente tem que o nosso retângulo tem lados medindo 2 e 5 né? Só ver pela variação de x   e   y nos vértices. A área então é:

A R = 2 ∙ 5 = 10

Beleza, vamos fazer a integral agora...

Passo 2

O valor médio então é encontrado assim:

1 10 ∫ - 1 1 ∫ 0 5 x 2 y   d y d x

= 1 10 ∫ - 1 1 x 2 y 2 2 0 5 d x

= 1 10 ∫ - 1 1 25 x 2 2 d x

Passo 3

Vamos integrar em x   agora:

= 1 10 25 x 3 6 - 1 1

= 1 10 25 6 - - 25 6

= 1 10 50 6

= 5 6

Prontinho! Esse é o ponto médio😉

Resposta

5 6

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Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado: f x , y = e y x + e y , R = 0,4 × [ 0,1 ]
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Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = x y , Déot r i n â n g u l oc o mv é r t i c e s0,0 ,1,0e1,3 . é â é
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = x sen ⁡ y , Dél i m i t a d op e l a sc u r v a sy = 0 ,y = x 2ex = 1 . é
Use a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ S 4 - x 2 y 2 d A ,S = x , y | x 2 + y 2 ≤ 1 ,x ≥ 0