Enunciado

Determine o valor médio de f   sobre o retângulo dado:

f x , y = e y x + e y ,     R = 0,4 × [ 0,1 ]

Passo 1

O valor médio a gente acha fazendo:

1 A ( R ) ∬ R f x , y d A

Vamos lá, a gente tem que o nosso retângulo tem lados medindo 4 e 1 né? Só ver pela variação de x   e   y nos vértices. A área então é:

A R = 4 ∙ 1 = 4

Beleza, vamos fazer a integral agora...

Passo 2

O valor médio então é encontrado assim:

1 4 ∫ 0 4 ∫ 0 1 e y x + e y   d y d x

Integrando em y ...

1 4 ∫ 0 4 2 3 x + e y 3 2 0 1 d x

1 4 ∫ 0 4 2 3 x + e 1 3 2 - 2 3 x - e 0 3 2 d x

1 4 2 3 ∫ 0 4 x + e 3 2 - x - 1 3 2 d x

Passo 3

Vamos integrar em x   agora:

1 6 2 5 x + e 5 2 - 2 5 x - 1 5 2 0 4

= 1 6 2 5 4 + e 5 2 - 2 5 3 5 2 - 2 5 e 5 2 - 2 5 - 1 5 2

= 1 6 2 5 4 + e 5 2 - 3 3 5 - e 5 2 + 1

1 15 4 + e 5 2 - 3 3 5 - e 5 2 + 1

Esse é o ponto médio. Isso dá mais ou menos 3,327 .

Resposta

1 15 4 + e 5 2 - 3 3 5 - e 5 2 + 1

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