Enunciado

Convertendo em uma integral polar: Calcule a integral

∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ 1 1 + x 2 + y 2   d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Dito isso, então temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 ∞ 1 1 + r 2   r   d r   d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 ∞ r 1 + r 2     d r   d θ

∫ 0 π 2 lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b r 1 + r 2 d r   d θ

Temos das técnicas de integração, que:

∫ x 1 + x 2 d x = 1 2 l n ⁡ ( x 2 + 1 )

Assim:

∫ 0 2 π 1 2 lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ r 2 + 1 0 b ) d θ

1 2 lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ r 2 + 1 0 b ) θ 0 π 2

π 4 lim b → ∞ ⁡ [ ln ⁡ r 2 + 1 0 b

π 4

Passo 3

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 ∞ r 1 + r 2     d r   d θ

E o valor da integral é:

π 4

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