(a)Mostre que lim x→(pi/2) ((pi/2)-x) \* tg(x) = 1

Passo 1

Esse limite nos daria uma indeterminação do tipo 0 ∙ ∞ .

Pra resolver isso, podemos manipular a função de forma a se escrever do seguinte jeito:

l i m x → π 2 π 2 - x ∙ tg ⁡ x = l i m x → π 2 π 2 - x 1 tg ⁡ x

Aplicando π / 2 diretamente na função, temos a indeterminação do tipo ∞ ∞ , que é passível da aplicação da regra de L’Hôpital.

Derivamos numerador e denominador e teremos:

Passo 2

l i m x → π 2 π 2 - x 1 tg ⁡ x = l i m x → π 2 - 1 - csc 2 ⁡ x =

l i m x → π 2 1 csc 2 ⁡ x = l i m x → π 2 1 1 sen 2 ⁡ x =

l i m x → π 2 sen 2 ⁡ x

Já podemos aplicar diretamente π / 2 e determinar:

l i m x → π 2 sen 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ π 2 = 1 2 = 1

Assim comprovamos que l i m x → π 2 π 2 - x ∙ tg ⁡ x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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