Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 79
Se um campo eletrostático agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante por unidade de volume é
Mostre que .
Passo 1
Devemos resolver o limite quando e mostrar que ele se anula. Para isso, usaremos a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos aplicar a regra de L’Hospital se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou .
Passo 2
Quando , , , de modo que
Além disso,
Assim, o limite é uma indeterminação do tipo e, desta forma, não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda.
Passo 3
Vamos brincar com a expressão de para achar outro tipo de indeterminação:
Note agora que quando , e , ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0: agora podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
A derivada do numerador é
Já a do denominador é
Assim,
Seguimos com uma indeterminação do tipo 0/0: vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente!!!
Passo 5
Temos que
E
Assim, pela regra de L’Hospital:
Desta forma,
Resposta
Demonstração.
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