Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.4 - Ex. 79

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desse livro

Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de volume é

P E = e E + e - E e E - e - E - 1 E

Mostre que lim E → 0 + ⁡ P ( E ) = 0 .

Passo 1

Devemos resolver o limite quando E → 0 + e mostrar que ele se anula. Para isso, usaremos a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos aplicar a regra de L’Hospital se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou ∞ / ∞ .

Passo 2

Quando E → 0 + , e E + e - E → 2 , e E - e - E → 0 , de modo que

e E + e - E e E - e - E → ∞

Além disso,

1 E → ∞

Assim, o limite é uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ e, desta forma, não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda.

Passo 3

Vamos brincar com a expressão de P ( E ) para achar outro tipo de indeterminação:

P E = e E + e - E e E - e - E - 1 E = E   e E + e - E - ( e E - e - E ) E   e E - e - E = E - 1   e E + E + 1   e - E E   e E - e - E

Note agora que quando E → 0 + , E - 1   e E + E + 1   e - E → 0 e E   e E - e - E → 0 , ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0: agora podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 4

A derivada do numerador é

E - 1   e E + E + 1   e - E ' = e E + E - 1 e E + e - E - E + 1 e - E = E   ( e E - e - E )

Já a do denominador é

E   e E - e - E ' = e E - e - E + E e E + e - E = E + 1 e E + E - 1 e - E

Assim,

lim E → 0 + ⁡ P E = lim E → 0 + ⁡ E - 1   e E + E + 1   e - E E   e E - e - E = lim E → 0 + ⁡ E   e E - e - E E + 1 e E + E - 1 e - E

Seguimos com uma indeterminação do tipo 0/0: vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente!!!

Passo 5

Temos que

E   e E - e - E ' = e E - e - E + E   e E + e - E = E + 1 e E + E - 1 e - E

E

E + 1 e E + E - 1 e - E ' = e E + E + 1 e E + e - E - E - 1 e - E = E + 2 e E + 2 - E e - E

Assim, pela regra de L’Hospital:

lim E → 0 + ⁡ P E = lim E → 0 + ⁡ E   e E - e - E E + 1 e E + E - 1 e - E = lim E → 0 + ⁡ E + 1 e E + E - 1 e - E E + 2 e E + 2 - E e - E = 0 4 = 0

Desta forma,

lim E → 0 + ⁡ P E = 0

Resposta

Demonstração.

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