Enunciado

28. Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais:

f) r → x , y , z = 3 a → | a → | onde a → = x i → + y j → + z k →

Passo 1

Aqui vai uma dica pra te ajudar a ver se uma função é continua ou não.

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo  R .
  2. Funções raízes, para  x ≥ 0  em raízes pares  ( x 2 ,   x 4 … . ; )  e todo  R  para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo  R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como arcsen, arctg, etc. Para todo  R .
  5. Funções exponenciais, para todo  R .
  6. Funções logarítmicas, para todo  x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.
  8. Isso SEMPRE aparece. Se tu souber que essas funçõeszinhas são contínuas, tu consegue fazer todos os exercícios.

A condição de continuidade da função vetorial é aplicada segundo o mesmo princípio que utilizamos na definição do limite, ou seja, a função vetorial é contínua se as suas funções membro forem contínuas, mais precisamente, analisamos os valores do limite e da função em cada membro e definimos se a função vetorial resultante é contínua.

Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua caso o limite e a função no ponto em questão existam e sejam iguais.

Passo 2

Como temos uma função vetorial com 3 variáveis simples, podemos representar em qualquer espaço tridimensional, já que são funções simples, e essas são contínuas, menos em indeterminações matemáticas como por exemplo:   0 0 , x 0 , ∞ ∞   . Logo, é continua em I R 3 menos ponto ( 0,0 , 0 ) .

Resposta

É contínua em I R 3 - 0,0 , 0 .

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Prove que se f for contínua em x 0 ,y 0 e se f x 0 , y 00 , então existirá r0 tal que 0f x , y para x , y - ( x 0 , y 0 )r
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Seja f : A ⊂R 2 →R , A aberto , uma função contínua e seja c um número real dado. Prove que p conjunto { x , y ∈ A ; fx , yc } é aberto.
Dizemos que a sequência de pontos x n ,y n n converge para ( x - , y - ) e dado ϵ0 , existe um natural n 0 tal que nn 0 ⇒x n ,y n - ( x - , y - )ϵ Suponha que f ( x , y ) seja contínua em ( x - , y -
Suponha que fé é contínua no retângulo A = x , y ∈ R 2 α ≤ x ≤ β ,α- ≤ y ≤ β - . Prove que f é limitada em A .(Sugestão: Suponha, por absurdo, que f não seja limitada em A . Então existe x 1 ,y 1 ∈ A