Lista de Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Determine L para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 L ,     s e   x , y = 0,0  

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Defina f 0 ,   0 de maneira a estender

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

a uma função contínua na origem.

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Determine h x , y = g f x , y e o conjunto no qual h é contínua.

g t = t + ln ⁡ t

f x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2

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A função

g x , y = 3 x + y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   se x , y ≠ 4,2 12 se x , y = 4,2

é contínua?

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Discuta a continuidade da função abaixo:

f x , y = x y x + y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = ( 0,0 )

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Determine os pontos em que a função abaixo é contínua:

f x , y , z = sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ,     x , y , z ≠ ( 0,0 , 0 )     0 ,     x , y , z = ( 0,0 , 0 )

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Considere a função

f x , y = x 4 sen 6 ⁡ x + y 5 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Qual afirmação é verdadeira?

  1. A função é continua em R 2
  2. A função é continua somente na origem
  3. A função é continua somente em R 2 \ ( 0,0 )
  4. A função não é continua.
  5. Nenhuma das outras alternativas

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Seja

f x , y = x y x 2 + y 2 s e   y > x x + y s e   y ≤ x

Então f possui:

(a) infinitos pontos de descontinuidade

(b) apenas um ponto de descontinuidade

(c) nenhum ponto de descontinuidade

(d) apenas dois pontos de descontinuidade

(e) nenhuma das outras opções

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a) Defina continuidade de uma função de duas variáveis f x , y em um ponto x 0 , y 0 de seu domínio.

b) Dada a função

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 L s e x , y = 0,0

é possível encontrar L de maneira que f seja contínua em 0,0 ?

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  1. Calcule o limite
  2. l i m x , y → 0,0 x 2 y x 4 + 3 y 2

    ou mostre que ele não existe.

  3. Se a função f é definida por

f x , y = x 2 y x 4 + 3 y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

qual o maior subconjunto de R 2 onde f é contínua? Justifique sua resposta.

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O valor de k que torna a função

f x , y = e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )     k ,     x , y = ( 0,0 )

Contínua em R 2 é:

  1. - 2
  2. - 1
  3. 0
  4. 1
  5. Não existe k que torne f continua em ( 0,0 )

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19 .     f ( x , y , z ) = 2 - x 2 - y 2 - z 2

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20 .             f ( x , y ) = x 2 y x 2 + y 2 ;       ( x , y ) ≠ ( 0,0 )     e

  f ( x , y ) =   0 ;                   ( x , y ) = ( 0,0 )

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17 .     f ( x , y ) = x 3 + y 2 + x y

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A função f tal que

f x , y = 1 | x + y - 1 |

É contínua?

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Obtenha o maior subconjunto do R 3 no qual a função é contínua.

f x , y , z = sen ⁡ x y + cos ⁡ x y x 2 + y 2 + z 2 - 4

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Considere a função

z = f x , y = x ∙ y 2 x 2 + y 4 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

  1. Mostre que f 1 t = f t , p e f 2 t = f p , t são funções contínuas em t para cada valor de p fixo
  2. Mostre que f , por sua vez, não é contínua em 0,0

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16 .       f ( x , y ) = x   +   y x   -   y

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Considere a função:

f x , y = s e n x + y 5 6 x 4 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

  1. A função f é contínua em R 2
  2. A função f é contínua somente na origem.
  3. A função f é contínua somente em R 2 - 0,0
  4. A função f não é contínua sobre os pontos da parábola y = - x 2
  5. Não sei

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Seja f : R 2 → R ² dada por

f x , y = x ² sen ⁡ ( x - y ) x 3 - y 3 ,     s e     x ≠ y     1 3 ,     s e     x = y

Decida se f é contínua nos pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) .

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Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.

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Seja a função f x , y = x 3 + y 3 x 2 + y 2 definida e contínua em R 2 - 0,0 . É possível estender f de maneira que ela seja contínua em todo R 2 ? Caso afirmativo, determine tal extenção.

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Resolva o que se pede:

  1. Determine A tal que a função

f x , y = 2 s e n x 2 + y 2 ln ⁡ 3 x 2 + 3 y 2 + e x 2 + y 2 se x , y ≠ 0,0 A se x , y = 0,0

Seja contínua e tenha R 2 como seu domínio. Sugestão: Utilize coordenadas polares

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  1. Justifique por que

f x , y = x - 1 2 + 3 y + 1 2 x - 1 2 + y + 1 2 ; se x , y ≠ 1 , - 1 0 ; se x , y = 1 , - 1

Não é contínua no ponto 1 , - 1 .

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É possível estender a função

f x , y = x + y x 2 + y 2

De modo que a função resultante seja contínua na origem?

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Considere a função f : R 2 → R definida por

f x , y = x y + x - 2 y - 2 x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 5 ( x , y ) ≠ ( 2 , - 1 ) 1 x , y = ( 2 , - 1 )

  1. Determine, caso exista, o valor de lim x , y → 2 , - 1 ⁡ f ( x , y )
  2. A função f ( x , y ) é contínua em x , y = ( 2 , - 1 ) ? Justifique
  3. A função f ( x , y ) é contínua em x , y = ( 0 , 0 ) ? Justifique

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Considere a função

f x , y = 9 - x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 ≤ 4 b ,     4 < x 2 + y 2 ≤ 16

a) Determine o valor de b para que a função f x , y seja contínua no ponto (0,2);

b) Faça o esboço do gráfico de f x , y para b encontrado no item a

c) Mostre que não existe f y 0,2

d) A função f ( x , y ) é diferenciável em 0,2 ?

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Seja t : R 2 → R uma função de duas variáveis definida por:

t x , y = x 2 y + 6 x y - 5 x 2 - 30 x + 9 y - 45 x 2 + y 2 + 6 x - 10 y + 34 se x , y ≠ - 3,5 A + π se x , y = - 3,5

Onde A ∈ R é uma constante. Para qual(quais) valor(es) de A a função t é contínua em - 3,5 ?

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Seja

f x , y = x 2 s i n y x 2 + y 4 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Então, verifique a sua continuidade:

a f x , y é descontínua em todos os pontos de R 2

b f x , y é contínua em R 2 - 0,0

c f x , y é descontínua em todos os pontos da parábola x = y 2

d f x , y é contínua em todos os pontos de R 2

e f x , y é contínua somente na origem

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Com relação a

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 4 + y 2

pode-se afirmar que:

  1. O limite nao existe
  2. O limite existe e é igual a 0
  3. O limite existe e é igual a 1
  4. O limite existe e é igual a 2
  5. O limite existe e é igual a - 3
  6. Nenhuma das demais alternativas é verdadeira

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Considere as funções

f x , y = sen ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + cos ⁡ y

g x , y = sen ⁡ x sen ⁡ y sen 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ y

h x , y = x y + 1 x 2 - y 2

i x , y = x 4 + x y 3 + x 2 y 2 + y 4 x 4 + y 4

j x , y = x y 2 + x 2 y 3 x 2 + 5 y 2

Se definirmos f 0,0 = g 0,0 = h 0,0 = i 0,0 = j ( 0,0 ) , podemos afirmar que

  1. Somente f ,   h   e   j são contínuas em ( 0,0 )
  2. Somente i   e   j são contínuas em ( 0,0 )
  3. Somente f ,   g   e   j são contínuas em ( 0,0 )
  4. Nenhuma das demais respostas
  5. Somente f e j são contínuas em ( 0,0 )

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:

f x , y , z = y x 2 - y 2 + z 2

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2     ,     x , y ≠ ( 0,0 ) 1     ,     x , y = ( 0,0 )

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É possível definir a função

f x , y = x y x 2 + y 2

Na origem de modo que ela seja contínua?

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Considere a função

f x , y = x y 3 x 6 + y 2

a) Qual o domínio da função?

b) A função f ( x , y ) é contínua em todo R 2 ? Caso não seja, é possível estender tal função à uma função contínua em R 2 ? Justifique.

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Determine o valor da constante A de modo que a função real

f x , y = 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 A ,   x , y = 0,0

Seja contínua na origem.

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Determine L para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 L ,     s e   x , y = 0,0  

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Considere a função:

f x , y = x 2 - x y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) Calcule o limite l i m x , y → 0,0   f x , y , ou mostre que ele não existe.

b) Calcule o limite l i m x , y → 1,1   f x , y , ou mostre que ele não existe.

c) A função f e contínua em 0,0 ? Justifique.

d) A função f e contínua em 1,1 ? Justifique.

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Considere a função f : R 2 → R definida por

f x ,   y = y x - 1 2 ,                 s e       x ≠ 1 y ,                   s e   x = 1

Então

a) f não é contínua no ponto ( 1 ,   1 ) .

b) a curva de nível f x ,   y = 1 contem o ponto ( 1 ,   0 ) .

c) existe o limite lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y = L ∈ R , mas f não é contínua nesse ponto.

d) f é contínua no ponto 1 , -   1 .

e) f é contínua no ponto 1 ,   0 .

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Considere a função f : R 2 → R definida por

f x ,   y = y x - 1 2 ,                 s e       x ≠ 1 y ,                   s e   x = 1

Então

a) f não é contínua no ponto ( 1 ,   0 ) .

b) a curva de nível f x ,   y = 1 contem o ponto ( 1 ,   0 ) .

c) existe o limite lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ f x ,   y = L ∈ R , mas f não é contínua nesse ponto.

d) f é contínua no ponto 1 ,   1 .

e) f é contínua no ponto 1 ,   - 1 .

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Considere a função f : R 2 → R definida por

f x ,   y = y x - 1 2 ,                 s e       x ≠ 1 y ,                   s e   x = 1

Então

a) f não é contínua no ponto ( 1 ,   - 1 ) .

b) a curva de nível f x ,   y = 1 contem o ponto ( 1 ,   0 ) .

c) existe o limite lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y = L ∈ R , mas f não é contínua nesse ponto.

d) f é contínua no ponto 1 ,   0 .

e) f é contínua no ponto 1 ,   1 .

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Considere

f x , y = x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 L s e x , y = 0,0

Existe algum número real L para o qual f seja contínua em 0,0 ? Justifique.

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Determine L para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 y 4 x 4 + y 8 sen ⁡ x ,   s e   x , y ≠ 0,0 L ,     s e   x , y = 0,0  

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Considere a função:

f x , y = x 6 x 8 + y 4 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

Considere as afirmações:

i) O limite de f