Enunciado

Prove que se f   for contínua em x 0 ,   y 0 e se f x 0 , y 0 > 0 ,     então existirá r > 0 tal que 0 < f x , y para x , y - ( x 0 , y 0 ) < r

Passo 1

Beleza, bora lá. Pra começar, vamos reescrever a equação abaixo:

x , y - ( x 0 , y 0 ) < r

Juntando esses dois pontos e prosseguindo, temos:

x - x o , y - y o < r

x - x o 2 + y - y o 2 < r

x - x o 2 + y - y o 2 < r 2

Opa, essa equação ai é exatamente o interior de uma circunferência de raio r centrada em x 0 ,   y 0 . Em outras palavras, x , y - ( x 0 , y 0 ) < r expressa as “vizinhanças” do ponto x 0 ,   y 0 , com r > 0 sendo tão pequeno quanto se queira.

Passo 2

Ta, mas e daí? Ok, calma galera. A gente sabe que f x 0 , y 0 > 0 e a questão ta pedindo pra gente provar que existe r > 0 tal que f x , y > 0 para x , y - ( x 0 , y 0 ) < r . Em outras palavras, queremos dizer que se f x 0 , y 0 > 0 , então qualquer ponto x , y nas “vizinhanças” de x 0 ,   y 0 .também terá f x , y > 0 .

Passo 3

Como f x , y é contínua, qualquer ponto na “vizinhança” de x 0 ,   y 0 implica que f x , y e f x 0 ,   y 0 estarão distantes, no mínimo, em ϵ > 0 unidades, sendo ϵ também tão pequeno quanto se queira. Em matematiquês, a continuidade da função implica em:

| f x , y - f x 0 , y 0 | < ϵ

Abrindo o módulo:

- ϵ   < f x , y - f x 0 , y 0 < ϵ

f x 0 , y 0 - ϵ   < f x , y < f x 0 , y 0 + ϵ

Agora a magia tá no seguinte: como “vizinhança” significa o mesmo que proximidade, temos que qualquer ponto x , y dentro dessa “vizinhança” estará muito perto de x 0 , y 0 , implicando na proximidade de f x , y e f x 0 , y 0 . Sendo ϵ > 0 , muito pequeno, como f x 0 , y 0 > 0 , vamos ter:

0 < f x 0 , y 0 - ϵ

E logo:

0 < f x 0 , y 0 - ϵ   < f x , y < f x 0 , y 0 + ϵ

Por transitividade:

0 < f x , y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

26. Calcular lim r → r 0 ⁡ f → x , y , z , dados:a) f → x , y , z = x 2 + y 2 , x y z , x - 2 x 2 - 4 ;r 0 → = ( 2,1 , 1 )
Discuta a continuidade das funções abaixo: bf x ,y = x 3 x 2 + y 2 ,s ex ,y ≠ 0 ,0 0,s ex ,y = 0 ,0
Discuta a continuidade das funções abaixo: af x ,y = x y x + y ,s ex ,y ≠ 0 ,0 0,s ex ,y = 0 ,0
Discuta a continuidade das funções abaixo: bf x ,y = x 3 y 2 x 8 + y 4 ,s ex ,y ≠ 0 ,0 0,s ex ,y = 0 ,0