Enunciado

Analise a função trigonométrica f no intervalo especificado, enunciando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo e dando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Confirme se seus resultados são consistentes com o gráfico gerado por um recurso.

f x = cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x ) ;   0 ,   2 π

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f '   x = - 2 s e n x + 1 c o s ⁡ ( x )

Essa função zera quando :

x = π 2

x = 3 π 2

A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :

f ' ( x ) = = - 2 s e n   x + 1 c o s ⁡ ( x ) > 0

Isso acontece quando estamos no intervalo de ( π 2 , 3 π 2 ) .

Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, isso acontece quando ( 0 ,   π 2 ) e ( 3 π 2 ,   2 π ) .

Passo 2

Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

f ' '   x = 2 s e n x . s e n x + 1 - 2 cos 2 ⁡ ( x )

Essa função zera quando:

x = π 6

x = 5 π 6

x = 3 π 6

Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima onde f ' '   x > 0 . Isso acontece quando:   π 6 , 5 π 6 .

Os demais valores fora do intervalo, tem concavidade para baixo onde f ' '   x < 0 . Isso acontece quando: 0 , π 6 e   5 π 6 ,   2 π .

O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = π 6 e x = 5 π 6 .

Todos esses valores podem ser comprovados com análise gráfica de:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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