Enunciado

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x)

15 ) f (x) = {[[(5)/(2) - x , x < 2],[(1)/(x) , x >= 2]])

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Já que a gente tem duas leis de formação, vamos com calma. Pra primeira, temos:

y = (5)/(2) - x , x < 2

Portanto, pra invertermos esse pedaço, podemos começar subtraindo (5)/(2) dos dois lados:

y - (5)/(2) = (5)/(2) - (5)/(2) - x

y - (5)/(2) = - x

Multiplicando os dois lados por (- 1) , temos:

(y - (5)/(2)) * (- 1) = (- x) * (- 1)

x = (5)/(2) - y

Só que temos uma coisa importante pra fazer ainda, considerar que x < 2 ! Se pegarmos essa inequação e subtrairmos dela (5)/(2) unidades dos dois lados, ficamos com

x - (5)/(2) < 2 - (5)/(2)

x - (5)/(2) < (4)/(2) - (5)/(2)

x - (5)/(2) < - (1)/(2)

Multiplicando os dois lados por (- 1) , ficamos com:

(5)/(2) - x > (1)/(2)

Veja que a definição de y apareceu do lado esquerdo, logo:

y > (1)/(2)

Juntando esses resultados, temos:

x = (5)/(2) - y , y > (1)/(2)

E trocando x , y de lugar, a primeira lei de formação se torna:

y = (5)/(2) - x , x > (1)/(2)

Bora pra próxima lei de formação!

Passo 3

Vamos repetir essa ideia, ok? Só que agora, pra:

y = (1)/(x) , x >= 2

Pra inverter essa função é bem tranquilo. Basta multiplicar os dois lados por (x)/(y) :

y * ((x)/(y)) = (1)/(x) * ((x)/(y))

x = (1)/(y)

Como temos:

x >= 2

Ao invertermos, vamos ter:

(1)/(x) <= (1)/(2)

y <= (1)/(2)

Mas calma gafanhoto, a gente tem que ter um enorme cuidado aqui. Afinal, em

y = (1)/(x) , x >= 2

Está implícito que y > 0 ! Portanto só responder y <= (1)/(2) não é o suficiente! O intervalo correto é:

0 < y <= (1)/(2)

Po galera, juntando tudo então, temos que, ao isolar x , a lei de formação:

y = (1)/(x) , x >= 2

Vira:

x = (1)/(y) , 0 < y <= (1)/(2)

Então pra achar a inversa desse carinha basta trocar x , y de lugar agora:

y = (1)/(x) , 0 < x <= (1)/(2)

Passo 4

Bora juntar os resultados. No passo 2 e 3 , achamos as respectivas inversas:

y = (5)/(2) - x , x > (1)/(2)

y = (1)/(x) , x <= (1)/(2)

Portanto, seja:

f (x) = {[[(5)/(2) - x , x < 2],[(1)/(x) , x >= 2]])

A nossa inversa será:

f^(- 1) (x) = {[[(5)/(2) - x , x > (1)/(2)],[(1)/(x) , 0 < x <= (1)/(2)]])

E olha que bacana que fica o gráfico das funções:

Resposta

blablablablabla

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