Encontre a fórmula para f^(-1)(x)

15 )   f x = 5 2 - x ,     x < 2 1 x ,     x ≥ 2    

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Já que a gente tem duas leis de formação, vamos com calma. Pra primeira, temos:

y = 5 2 - x ,     x < 2

Portanto, pra invertermos esse pedaço, podemos começar subtraindo 5 2 dos dois lados:

y - 5 2 = 5 2 - 5 2 - x

y - 5 2 = - x

Multiplicando os dois lados por - 1 , temos:

y - 5 2 ∙ - 1 = - x ∙ - 1

x = 5 2 - y

Só que temos uma coisa importante pra fazer ainda, considerar que x < 2 ! Se pegarmos essa inequação e subtrairmos dela 5 2 unidades dos dois lados, ficamos com

x - 5 2 < 2 - 5 2

x - 5 2 < 4 2 - 5 2

x - 5 2 < - 1 2

Multiplicando os dois lados por - 1 , ficamos com:

5 2 - x > 1 2

Veja que a definição de y apareceu do lado esquerdo, logo:

y > 1 2

Juntando esses resultados, temos:

x = 5 2 - y ,     y > 1 2

E trocando x , y de lugar, a primeira lei de formação se torna:

y = 5 2 - x ,     x > 1 2

Bora pra próxima lei de formação!

Passo 3

Vamos repetir essa ideia, ok? Só que agora, pra:

y = 1 x ,     x ≥ 2

Pra inverter essa função é bem tranquilo. Basta multiplicar os dois lados por x y :

y ∙ x y = 1 x ∙ x y

x = 1 y

Como temos:

x ≥ 2

Ao invertermos, vamos ter:

1 x ≤ 1 2

y ≤ 1 2

Mas calma gafanhoto, a gente tem que ter um enorme cuidado aqui. Afinal, em

y = 1 x ,     x ≥ 2

Está implícito que y > 0 ! Portanto só responder y ≤ 1 2 não é o suficiente! O intervalo correto é:

0 < y ≤ 1 2

Po galera, juntando tudo então, temos que, ao isolar x , a lei de formação:

y = 1 x ,     x ≥ 2

Vira:

x = 1 y ,     0 < y ≤ 1 2

Então pra achar a inversa desse carinha basta trocar x , y de lugar agora:

y = 1 x ,     0 < x ≤ 1 2

Passo 4

Bora juntar os resultados. No passo 2 e 3 , achamos as respectivas inversas:

y = 5 2 - x ,     x > 1 2

y = 1 x ,     x ≤ 1 2

Portanto, seja:

f x = 5 2 - x ,     x < 2 1 x ,     x ≥ 2

A nossa inversa será:

f - 1 x = 5 2 - x ,     x > 1 2 1 x ,     0 < x ≤ 1 2

E olha que bacana que fica o gráfico das funções:

Resposta

blablablablabla

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados