Enunciado

Enfocando conceitos

  1. Mostre que f x = 3 - x 1 - x é a sua própria inversa
  2. O que o resultado de a diz sobre o gráfico de f ?

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Seja:

y = 3 - x 1 - x

Se a gente somar e subtrair 2 no numerador ao mesmo tempo, não mudamos nada, pois é como se tivéssemos adicionando zero! Olha a malandragem então:

y = 3 - x + 2 - 2 1 - x

y = 1 - x + 2 1 - x

y = 1 - x 1 - x + 2 1 - x

y = 1 + 2 1 - x

Subtraindo 1 dos dois lados, temos:

y - 1 = 1 - 1 + 2 1 - x

y - 1 = 2 1 - x

Multiplicando os dois lados por 1 - x , temos:

y - 1 1 - x = 2 1 - x 1 - x

y - 1 1 - x = 2

Dividindo os dois lados por y - 1 , temos:

y - 1 1 - x y - 1 = 2 y - 1

1 - x = 2 y - 1

Subtraindo 1 nos dois lados, temos:

1 - 1 - x = 2 y - 1 - 1

- x = 2 y - 1 - y - 1 y - 1

- x = 2 - y + 1 y - 1

- x = 3 - y y - 1

Multiplicando os dois lados por - 1 :

x = - 3 - y y - 1

x = 3 - y 1 - y

Trocando x , y de lugar:

y = 3 - x 1 - x

Nossa inversa será então:

f - 1 x = 3 - x 1 - x

E gente olha que doido! A inversa é de fato igual a função original! Isso acontece porque a função original já era simétrica em relação a y = x mesmo, então a sua inversa acaba ficando igual. Ó só o gráfico que bonito:

Resposta

Provado no desenvolvimento que f x = 3 - x 1 - x é sua própria derivada, implicando que f x já é simétrica em relação a y = x . Aos espelhar f em relação a esse eixo, obtemos ela mesma.

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Inicie o gráfico com y=l nx . Determine uma equação para o gráfico que resulte em uma reflexão em torno da reta y=x .
Comece com um gráfico de y=l nx . Determine uma equação para o gráfico que resulte em uma compressão vertical para um fator de 4.
Ache o valor exato da quantidade dada. cos ⁡ a r c s e n- 1 2 + a r c s e n 1 4
Ache o valor exato da quantidade dada. cos ⁡ 2a r c s e n- 5 13
Ache o valor exato da quantidade dada. a cos ⁡ a r c s e n- 1 2 ; (b) s e narccos ⁡ - 1 2