Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - π / 2 π / 2 ( 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x )   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x no intervalo [ - π 2 , π 2 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos o máximo e mínimo absolutos da função f x = 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x no intervalo dado, precisamos primeiro achar os pontos críticos. Derivando a função obtemos:

f ' x = 12 cos 2 ⁡ x ⋅ ( - sen ⁡ x ) - 9 ⋅ ( - sen ⁡ x ) = - 12 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x + 9 sen ⁡ x

= 3 sen ⁡ x   ( 3 - 4 cos 2 ⁡ x )

Teremos um ponto crítico quando a derivada for igual a zero ou não exisir. Como f ' ( x ) existe para todo x , queremos f ' x = 0 . Resolvemos então a equação no intervalo [ - π 2 , π 2 ] :

3 sen ⁡ x   ( 3 - 4 cos 2 ⁡ x ) = 0

1 ) sen ⁡ x = 0

2 )   3 - 4 cos 2 ⁡ x = 0 ⇒ 4 cos 2 ⁡ x = 3 ⇒ cos 2 ⁡ x = 3 4 ⇒ cos ⁡ x = ± 3 2

Para o resultado 1 temos no nosso intervalo apenas x = 0 . Para o resultado 2 temos x = - π 6 e x = π 6 . Logo, temos esses três pontos críticos. Agora basta comparar o valor de f ( x ) nos pontos críticos e nos extremos x = - π 2 e x = π 2 para acharmos o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo.

Passo 3

Comparamos agora os valores da função nos ponto críticos e nos extremos:

f 0 = 4  cos 3 0 - 9 cos ⁡ 0 = 4 - 9 = 5

f - π 6 = 4 cos 3 ⁡ - π 6 - 9 cos ⁡ - π 6 = 4 ⋅ - 3 2 3 - 9 ⋅ - 3 2 = - 4 ⋅ 3 3 8 + 9 3 2

= 9 3 - 3 3 2 = 6 3 2 = 3 3

f π 6 = 4 cos 3 ⁡ π 6 - 9 cos ⁡ π 6 = 4 ⋅ 3 2 3 - 9 ⋅ 3 2 = 4 ⋅ 3 3 8 - 9 3 2 = 3 3 - 9 3 2

= - 6 3 2 = - 3 3

f - π 2 = 4 cos 3 ⁡ - π 2 - 9 cos ⁡ - π 2 = 0 - 0 = 0

f π 2 = 4 cos 3 ⁡ π 2 - 9 cos ⁡ π 2 = 0 - 0 = 0

Temos então m = f π 6 = - 3 3 e M = f - π 6 = 3 3 . Como já temos os valores m e M , podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - π 2 , π 2 ] , m = - 3 3 e M = 3 3 , sabemos então que:

m π 2 - - π 2 ≤   ∫ - π / 2 π / 2 ( 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x )   d x ≤ M π 2 - - π 2

⇒ - 3 3 ⋅ π + π 2 ≤   ∫ - π / 2 π / 2 ( 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x )   d x ≤ 3 3 ⋅ π + π 2

⇒ - 3 3 π ≤ ∫ - π / 2 π / 2 ( 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x )   d x ≤ 3 3 π

Resposta

∫ - π / 2 π / 2 ( 4 cos 3 ⁡ x - 9 cos ⁡ x )   d x ∈ [ - 3 3 π ,   3 3 π ]

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