Enunciado

Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ou deve ser inserido onde indicado.

∫ 3 π / 4 5 π / 4 sen 2 ⁡ x   d x   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ 3 π / 4 5 π / 4 cos 2 ⁡ x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema citado na questão diz que se temos duas função f x e g ( x ) integráveis no intervalo [ a , b ] , se tivermos f ( x ) ≥ g ( x ) para todo x no intervalo, teremos então ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x . O que queremos é então provar que uma das funções dadas é sempre maior que a outra no intervalo [ 3 π 4 , 5 π 4 ] , para então aplicar o teorema.

Passo 2

Uma coisa muito útil de ser feita para compararmos duas funções é olhar para sua diferença. Subtraindo a segunda da primeira e chamando a função resultante de h ( x ) , temos:

h x = sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x = - ( cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ) = - cos ⁡ 2 x

Usamos aqui a importantíssima identidade trigonométrica cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x para achar h x = - cos ⁡ 2 x . Agora que temos a expressão da diferença entre as funções, podemos compará-las.

Passo 3

h x = - cos ⁡ 2 x

Analisar a função - cos ⁡ 2 x no intervalo [ 3 π 4 , 5 π 4 ] é mesmo que analisar a função - cos ⁡ x no intervalo [ 3 π 2 , 5 π 2 ] . Nesse intervalo temos cos ⁡ x   ≥ 0 (o intervalo está no lado direito do círculo trigonométrico), então teremos para [ 3 π 4 , 5 π 4 ] o resultado h x = - cos ⁡ 2 x   ≤ 0 . Como a diferença h ( x ) entre a primeira e a segunda funções é menor ou igual a zero, sabemos então que a primeira função é menor ou igual à segunda no intervalo dado. Logo, aplicando o teorema, a primeira integral será menor ou igual à segunda.

Resposta

∫ 3 π / 4 5 π / 4 sen 2 ⁡ x   d x   ≤ ∫ 3 π / 4 5 π / 4 cos 2 ⁡ x   d x

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