Enunciado

Após o álcool ser completamente absorvido pelo corpo, ele é metabolizado com uma meia vida de cerca de 1,5 horas. Suponha que você tenha bebido 3 drinques alcoólicos e uma hora depois, à meia noite, sua concentração de álcool no sangue (CAS) é 0,6   m g / m L .

a) Encontre o decaimento exponencial que modela sua CAS t horas após meia noite.

b) Faça um gráfico do seu CAS e use-o para determinar quando você pode dirigir para casa se o limite legal é de 0,08   m g / m L .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Nesse problema temos que obter o decaimento exponencial da função C A S em relação ao tempo t e a partir desse gráfico obter o tempo t quando C A S é 0,08   m g / m l .

Parece complicado? 👀

Mas calma que vou te ajudar no passo a passo. Vem comigo!

Passo 2

Primeiramente, vamos mostrar como é a função de meia vida.

Ela é uma função exponencial do tipo:

f x = B ⋅ a x

Onde B representa o valor inicial da concentração de álcool no sangue C A S 0 , a base da potência a é igual a 1 2 , por se tratar da meia vida, e o expoente representa o tempo que demora para que a concentração de álcool caia pela metade.

Pelo enunciado podemos ver que esse tempo será de t t 0 . Assim, a função que modela nosso problema será:

C A S = C A S 0 1 2 t / t 0

Perfeito, já temos nossa função! 😁

Passo 3

Agora vamos responder cada um dos itens pedidos.

a) Quando deu meia noite, sua concentração de álcool no sangue (CAS) é 0,6 mg/mL. Este valor é a nossa referência, de acordo com o enunciado.

Então:

C A S 0 = 0,6  

Então, a equação do decaimento será:

C A S = 0,6 1 2 t / 1,5

Show, função pronta!

Passo 4

Agora a letra

b) O gráfico do decaimento vai ter esta cara, e o tempo que demora para chegarmos à concentração de 0,08   m g / m L pode ser marcada diretamente no gráfico. Veja:

Também podemos ver que para a C A S atingir 0,08   m g / m L , podemos usar a equação:

0,08 = 0,6 1 2 t / 1,5

t ≈ 4,35   h

Mostrando que o gráfico está certinho

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

a )   C A S = 0,6 1 2 t / 1,5

b )   t ≈ 4,35   h

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Resolva em x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.
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Simplifique a expressão sem usar uma calculadora:
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