Enunciado

12 . Um recém-formado pegou emprestado o valor de R$ 150.000,00 a uma taxa de juros de 6% aoano para comprar um apartamento. Antecipando constantes aumentos de salário, ele esperapagar a uma taxa mensal de 800 + 10t, em que t é o número de meses desde o início doempréstimo.(a) Supondo que o programa de pagamento possa ser mantido, quando o empréstimo estaráquitado?(b) Supondo o mesmo programa de pagamento, qual deve ser a quantia emprestada para que seja paga em exatamente 20 anos?

Passo 1

  1. No inicio da seção deste capitulo descobrimos que a equação que rege juros com aportes constantes é

S t = c e r t - k r

Onde S(t) é o montante, C nossa constante arbitraria, k as parcelas e r o valor do nosso juros. Assim pelas condições do nosso problema, podemos dizer que

k =   -   800   +   10 t

S 0 = S 0 = 150.000  

S t f = 0

r = 1,06 1 12 - 1

Temos que trabalhar aqui com juros mensais, afinal pagamos mensalidades do imóvel. A parte dos juros pode ser uma questão de complicação. Afinal temos uma taxa anual de 6%. Por propriedades de exponencial não podemos fazer 6 1 12 nem 0,06 1 12 pois não resultam em valores de juros acurados. Temos que adicionar 1 a r e fazer a conta 1 + r 1 12 , e como a equação requer apenas r, subtraímos 1 ao final. Blz? Vamos achar então nosso valor da constante arbitraria C

Passo 2

S t = c e r t - k r

150.000 = c - -   800   +   10 t 1,06 1 12 - 1

c = 150.000 -   800   +   10 t 1,06 1 12 - 1    

Isso faz com que nossa equação fique assim

S t = 150.000 -   800   +   10 t 1,06 1 12 - 1 e 1,06 1 12 - 1 t +   800   +   10 t 1,06 1 12 - 1

Passo 3

Agora queremos saber t para que S t = 0 , então bora calcular

0 =   150.000 -   800   +   10 t 1,06 1 12 - 1 e 1,06 1 12 - 1 t +   800   +   10 t 1,06 1 12 - 1  

  800   +   10 t 1 -   e 1,06 1 12 - 1 t =   - 150.000 1,06 1 12 - 1 e 1,06 1 12 - 1 t

É galera, nem tudo são flores, e infelizmente. Essa função não tem solução analítica, a solução será por método geométrico. Vamos plotar o gráfico de

  800   +   10 t 1 -   e 1,06 1 12 - 1 t

E ver os pontos onde ele cruza

- 150.000 1,06 1 12 - 1 e 1,06 1 12 - 1 t

E com isso conseguimos

Ou seja, nosso tempo é

t = 104   m e s e s

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 104   m e s e s

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