Enunciado

Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

∫ - 1 1 e - x 2 d x

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Assim, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + y 3 + … + y n - 1 + 2 y 2 + y 4 + … + y n - 2 + y n

Podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 10 ,   a = - 1 ,   b = 1

Ainda, o software usado para calcular a integral será o WolframAlpha e o resultado obtido será comparado ao encontrado na regra em questão.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - 1 1 e - x 2 d x

Temos que y = f x = e - x 2 . Então, podemos montar a seguinte tabela:

Então, a aproximação se dará por:

S 10 = 1 3 1 - - 1 10 22,405106

Portanto:

S 10 = 1,49367

Passo 3

Agora, através do Software citado na explicação obtemos:

∫ - 1 1 e - x 2 d x = π erf ⁡ 1 ≈ 1,49365

Observando os dois resultados, conseguimos ver que a regra de Simpson nos dá resultados praticamente exatos com um erro bem pequeno se comparado ao do software. Calculando o erro da nossa aproximação temos:

E S = 1,49365 - 1,49367 × 100 %

Então:

E S = 0,002 %

Resposta

S 10 = 1,49367

∫ - 1 1 e - x 2 d x ≈ 1,49365

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Use a) a regra do trapézio, b) a regra do ponto médio, e c) a regra de Simpson para aproximar a a integral dada com os valores dados de n . (Aproxime sua resposta para seis casas decimais.)
Massas pontuais m i estão localizadas no eixo x como mostrado. Encontre o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .
Encontre o centróide da região delimitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 - 1 . Esboce a região e desenhe o centróide para verificar se sua resposta é razoável.
Massas pontuais m i estão localizadas no eixo x como mostrado. Encontre o momento M do sistema com relação à origem e o centro de massa x - .
Use (a) A regra dos Trapézios, (b)a Regra do ponto médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n. (Arredonde sua resposta para seis casas decimais). Compa