Enunciado

Encontre o centróide da região delimitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 - 1 . Esboce a região e desenhe o centróide para verificar se sua resposta é razoável.

Passo 1

Vamos começar o exercício esboçando a região de interesse:

Então, através da figura, podemos verificar que o intervalo de interesse será de 1 ≤ x ≤ 1 , com a função y = x 3 - x acima da função y = x 2 - 1 durante todo o intervalo, então, a área dessa região pode ser dada pela integral:

A = ∫ - 1 1 x 3 - x - x 2 - 1 d x = ∫ - 1 1 ( x 3 - x 2 - x + 1 ) d x

Resolvendo a integral:

1 4 x 4 - 1 3 x 3 - 1 2 x 2 + x - 1 1

Substituindo os limites de integração, temos:

1 4 1 4 - 1 3 1 3 - 1 2 1 2 + 1 - 1 4 - 1 4 - 1 3 - 1 3 - 1 2 - 1 2 + - 1

= 1 4 - 1 3 - 1 2 + 1 - 1 4 + 1 3 - 1 2 - 1

E, simplifcando a expressão, a área é:

A = 4 3

Passo 2

Para calcularmos o centro de massa do sistema, precisamos das coordenadas x e y dele, então, começando por x , temos:

x - = 1 A ∫ - 1 1 x ( x 3 - x 2 - x + 1 ) d x = 1 A ∫ - 1 1 ( x 4 - x 3 - x 2 + x ) d x

E, resolvendo a integral:

= 1 4 3 1 5 x 5 - 1 4 x 4 - 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - 1 1

Substituindo os limites de integração:

4 3 1 5 1 5 - 1 4 1 4 - 1 3 1 3 + 1 2 1 2 - 1 5 - 1 5 - 1 4 - 1 4 - 1 3 - 1 3 + 1 2 - 1 2

= 3 4 1 5 - 1 4 - 1 3 + 1 2 - - 1 5 - 1 4 + 1 3 + 1 2

E, simplificando a expressão:

x - = - 1 5

Passo 3

Agora para a coordenada y , calculamos de uma maneira um pouco diferente:

y - = 1 A ∫ - 1 1 1 2 ( y 1 2 - y 2 2 ) d x

Em que, y 1 é a curva que fica acima e y 2 é a curva que fica abaixo, então, substituindo os valores de y 1 e y 2 :

y - = 1 A ∫ - 1 1 1 2 x 3 - x 2 - x 2 - 1 2 d x

Abrindo os produtos notáveis:

y - = 1 2 A ∫ - 1 1 ( x 6 - 2 x 4 + x 2 - x 4 + 2 x 2 - 1 ) d x

y - = 1 2 A ∫ - 1 1 ( x 6 - 3 x 4 + 3 x 2 - 1 ) d x

Resolvendo a integral, temos:

1 2 . 4 3 1 7 x 7 - x 4 + x 3 - x - 1 1

Substituindo os limites de integração:

3 8 1 7 1 7 - 1 4 + 1 3 - 1 - 1 7 - 1 7 - - 1 4 + - 1 3 - - 1

3 8 1 7 - 1 + 1 - 1 - - 1 7 - 1 - 1 + 1

E, simplificando a expressão, temos:

y - = - 12 35

Logo, o centróide é:

x - , y - = - 1 5 ; - 12 35

O gráfico com o centróide desenhado é mostrado a seguir:

O que parece ser uma posição razoável para o centróide da região.

Resposta

x - , y - = - 1 5 ; - 12 35

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