Enunciado

O valor exato da integral dada é π (confira). Aproxime a integral usando a a aproximação M 10 pelo ponto médio, b a aproximação trapezoidal T 10 e c a aproximação S 20 pela regra de Simpson usando a Fórmula 7 . Dê uma estimativa do erro absoluto e expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

∫ 0 3 4 9 9 - x 2 d x

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando as fórmulas das aproximações citadas.

Assim, temos três métodos. O primeiro deles é dado por aproximação pelo ponto médio:

M n = b - a n y m 1 + y m 2 + … + y m n

O outro é a aproximação trapezoidal dada por:

T n = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + … + 2 y n - 1 + y n

E o último é a regra de Simpson, que iremos usar a fórmula que depende dos resultados das outras duas regras:

S 2 n = 1 3 2 M n + T n

Com isso, podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 10 ,   a = 0 ,   b = 3

Passo 2

Então, montando uma tabela com as informações necessárias para o cálculo das duas primeiras aproximações, iremos ter:

Onde m n é o ponto médio, x n é o extremo do intervalo da aproximação trapezoidal e w n ´o multiplicador de cada termo na aproximação trapezoidal.

Então, a aproximação pelo ponto médio será:

M 10 = 3 - 0 10 1 0,508038

Portanto:

M 10 = 3,1 52411

O erro dessa aproximação é dado por:

E M = π - M 10 = π - 3,152411

Então:

E M = - 0,010819

Já para a aproximação trapezoidal, teremos o valor de:

T 10 = 3 - 0 2 0 20,696789

Logo:

T 10 = 3,1 04518

E o seu erro tem o valor:

E T = π - T 10 = π - 3,104518

∴ E T = 0,037074

Passo 3

Por fim, utilizando a fórmula citada para a regra de Simpson, vamos calcular:

S 2 0 = 1 3 2 M 10 + T 10 = 1 3 2 3,152411 + 3,104518

Que resulta em:

S 20 = 3,136447

E apresenta um erro de:

E S = π - S 20 = π - 3,136447

E S = 0,005146

Resposta

a   M 10 = 3,152411 → E M = - 0,010819

b   T 10 = 3,104518 → E T = 0,037074

c   S 2 0 = 3,136447 → E S = 0,005146

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