Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n x quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte b) plotando R n x

f x = tg ⁡ x ,     a = 0 ,     n = 3 ,     0 ≤ x ≤ π / 6

Passo 1

Temos que fazer três coisas nesta questão: determinar o polinômio de Taylor; estimar a precisão da aproximação no intervalo dado; plotar R n x e verificar o resultado da aproximação.

Sendo assim, precisamos começar escrevendo o polinômio de Taylor. Como a questão nos disse que a = 0 e n = 3 , o nosso polinômio será:

T 3 x = f 0 0 0 ! x 0 + f 1 0 1 ! x 1 + f 2 0 2 ! x 2 + f 3 0 3 ! x 3

Portanto, temos que determinar as derivadas parciais e aplicar no ponto x = 0 . Desta forma,

f x = tg ⁡ x ⟹ f 0 = 0

f ' x = sec 2 ⁡ x ⁡ ⟹ f ' 0 = 1

f ' ' x = 2 tg ⁡ x sec 2 ⁡ x ⟹ f ' ' 0 = 0

f 3 x = 2 sec 2 ⁡ x 2 tg 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x ⟹ f 3 0 = 2

Portanto, o polinômio de Taylor é:

T 3 x = 0 0 ! x 0 + 1 1 ! x 1 + 0 2 ! x 2 + 2 3 ! x 3

T 3 x = x + x 3 3

Passo 2

A desigualdade de Taylor nos diz que

R 3 x ≤ M 4 ! x - 0 4

Onde f 4 ≤ M . Portanto, para descobrirmos quem é M , precisaremos descobrir primeiro quem é f 4 , e depois aplicar x = π / 6 , pois esse é seu ponto de máximo. Sendo assim,

f 4 x = 2 tg ⁡ x sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ≤ 8 tg ⁡ π 6 sec 2 ⁡ π 6 tg 2 ⁡ π 6 + 2 sec 2 ⁡ π 6

f 4 x ≤ 8 ⋅ 3 3 ⋅ 4 3 ⋅ 1 3 + 2 ⋅ 4 3 = 32 3 3

Portanto, podemos tomar M como 32 3 / 3 . Como 0 ≤ x ≤ π 6 , o erro será máximo quando x = π / 6 . Desta forma, temos:

R 3 x ≤ M 4 ! x - 0 4 = 32 3 3 ⋅ 24 ⋅ π 6 4 < 0,058

Passo 3

Para compararmos o erro, vamos utilizar softwares para plotar a curva R 3 x = f x - T 3 x . Portanto, temos:

E com isto, verificamos que o erro calculado foi menor que o erro real!

Resposta

  1. T 3 x = x + x 3 3

  2. R 3 x < 0,058

  3. O resultado real é realmente menor que o erro calculado.

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