Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.12 - Ex. 17
- Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .
- Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
- Verifique seu resultado na parte b) plotando
Passo 1
Temos que fazer três coisas nesta questão: determinar o polinômio de Taylor; estimar a precisão da aproximação no intervalo dado; plotar e verificar o resultado da aproximação.
Sendo assim, precisamos começar escrevendo o polinômio de Taylor. Como a questão nos disse que e , o nosso polinômio será:
Portanto, temos que determinar as derivadas parciais e aplicar no ponto . Desta forma,
Portanto, o polinômio de Taylor é:
Passo 2
A desigualdade de Taylor nos diz que
Onde . Portanto, para descobrirmos quem é , precisaremos descobrir primeiro quem é , e depois aplicar , pois esse é seu ponto de máximo. Sendo assim,
Portanto, podemos tomar como . Como , o erro será máximo quando . Desta forma, temos:
Passo 3
Para compararmos o erro, vamos utilizar softwares para plotar a curva . Portanto, temos:
E com isto, verificamos que o erro calculado foi menor que o erro real!
Resposta
- O resultado real é realmente menor que o erro calculado.