Enunciado

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

Passo 1

A mudança para o sistema de coordenadas cilíndricas é realizada fazendo a seguinte substituição:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Se fizermos isto, vamos obter algo do tipo:

∭ E ρ 2   d V

O problema é esse nosso sólido E. Precisamos entender quem ele é para podermos escrever os limites de integração após a mudança do sistema de coordenadas.

O nosso sólido está limitado abaixo pelo cone z = x 2 + y 2 e acima pela superfície esférica z = 18 - x 2 - y 2 . Além disto, a projeção desse sólido no plano x y nos dá o primeiro quadrante de uma circunferência de raio 3 (sendo esta obtida através da interseção do cone pelo sorvete).

No final, o nosso sólido corresponde a 1/4 de um sorvete! Pois é, a nossa figura bem que parece com um sorvete!

Por causa dessa geometria, os limites de integração são:

0 ≤ ρ ≤ 18

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 4

Observem que o valor de ρ variou de 0 até 18 para poder descrever todos os pontos acima do cone e abaixo da superfície esférica. O valor de ϕ foi de 0 (eixo z ) até π / 4   pois este valor é a inclinação do nosso cone. Já o valor de θ é devido a projeção estar apenas no primeiro quadrante do plano x y . Sendo assim, a integral que precisamos resolver é:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 18 ρ 2 ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Perceba que apareceu mais um termo no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!

Passo 2

Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!

∫ 0 π / 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 18 ρ 2 ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π / 4 ∫ 0 π / 2 sen ⁡ ϕ ⋅ ρ 5 5 0 18 d θ d ϕ = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 π / 2 sen ⁡ ϕ ⋅ 324 ⋅ 18 5 d θ d ϕ

∫ 0 π / 4 sen ⁡ ϕ ⋅ 324 ⋅ 18 5 ⋅ θ 0 π 2 d ϕ = ∫ 0 π / 4 sen ⁡ ϕ ⋅ 162 ⋅ 18 π 5 d ϕ

162 ⋅ 18 π 5 ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π 4 = 162 ⋅ 18 π 5 ⋅ - 2 2 + 1 = 81 18 π ⋅ 2 - 2 5

81 18 π ⋅ 2 - 2 5 = 486 π 2 - 1 5

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y = 486 π 2 - 1 5

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Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e exterior ao cone z 2 = x 2 + y 2
Calcular ∭ T ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9 .
Calcular as seguintes integrais: ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( e x 2 + y 2 + z 2 ) d z . d y . d x
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde T é a região delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é o sólido delimitado por 4 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 .