Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 36
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas
Passo 1
A mudança para o sistema de coordenadas cilíndricas é realizada fazendo a seguinte substituição:
Se fizermos isto, vamos obter algo do tipo:
O problema é esse nosso sólido E. Precisamos entender quem ele é para podermos escrever os limites de integração após a mudança do sistema de coordenadas.
O nosso sólido está limitado abaixo pelo cone e acima pela superfície esférica . Além disto, a projeção desse sólido no plano nos dá o primeiro quadrante de uma circunferência de raio 3 (sendo esta obtida através da interseção do cone pelo sorvete).
No final, o nosso sólido corresponde a 1/4 de um sorvete! Pois é, a nossa figura bem que parece com um sorvete!
Por causa dessa geometria, os limites de integração são:
Observem que o valor de variou de 0 até para poder descrever todos os pontos acima do cone e abaixo da superfície esférica. O valor de foi de 0 (eixo ) até pois este valor é a inclinação do nosso cone. Já o valor de é devido a projeção estar apenas no primeiro quadrante do plano . Sendo assim, a integral que precisamos resolver é:
Perceba que apareceu mais um termo no integrando. Isto se dá pelo Jacobiano da transformação!
Passo 2
Agora, só nos falta resolvermos a nossa integral! Vamos as contas então!