Enunciado

Calcule a integral iterada.

∫ ∫ ∫ ε x ⋅ y   ⋅ d V , onde E é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação dada na seção para o cálculo de integral tripla

∫ ∫ ∫ ε f x , y , z ⋅ d V

Passo 2

Vamos começar calculando quais são os intervalos de integração. Considerando inicialmente z = 0 podemos encontrar a reta em x y . Temos que para os pontos (1,0,0) e (0,2,0), encontrarmos a seguinte equação:

y = 2 - 2 ⋅ x

Agora temos que encontrar para o z . Sabemos que vamos integrar do plano x y com altura z = 0 até uma outra altura z , assim temos que o plano será do tipo

a ⋅ z = 2 - 2 ⋅ x

Onde a é uma constante que precisamos encontrar. Considerando agora o ponto (0,0,3), encontramos que a será

a = 2 - 2 ⋅ x z = - 2 3

Substituindo em z , chegamos que nosso plano será

z = 3 - 3 ⋅ x - 3 2 ⋅ y

Assim, nossos intervalos de integração serão

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2 - 2 ⋅ x

0 ≤ z ≤ 3 - 3 ⋅ x - 3 2 ⋅ y

Assim, calculando então a integral

∫ ∫ ∫ ε x ⋅ y   ⋅ d V = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 ⋅ x ∫ 0 3 - 3 ⋅ x - 3 2 ⋅ y x ⋅ y ⋅ d z ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 ⋅ x x ⋅ y ⋅ 3 - 3 ⋅ x - 3 2 ⋅ y ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y - 3 ⋅ x 2 ⋅ y - 3 2 ⋅ x ⋅ y 2 ⋅ d y ⋅ d x =

∫ 0 1 3 2 ⋅ x ⋅ y 2 - 3 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 - 1 2 ⋅ x ⋅ y 3 0 2 - 2 ⋅ x ⋅ d x =

= ∫ 0 1 3 2 ⋅ x ⋅ 2 - 2 ⋅ x 2 - 3 2 ⋅ x 2 ⋅ 2 - 2 ⋅ x 2 - 1 2 ⋅ x ⋅ 2 - 2 ⋅ x 3 ⋅ d x =

= ∫ 0 1 2 ⋅ x - 6 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x 3 - 2 ⋅ x 4 ⋅ d x = x 2 - 2 ⋅ x 3 + 3 2 ⋅ x 4 - 2 5 ⋅ x 5 0 1 =

= [ 1 2 - 0 - 2 ⋅ 1 3 - 0 + 3 2 ⋅ 1 4 - 0 - 2 5 ⋅ 1 5 - 0 = 1 - 2 + 3 2 - 2 5 = 1 10

Resposta

∫ ∫ ∫ ε x ⋅ y   ⋅ d V = 1 10

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