Enunciado

Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima?

Passo 1

O enunciado nos diz que o arame tem 10   c m , ele é cortado em dois pedaços que vamos chamar de x e y . Assim temos:

x + y = 10

Vamos dizer que o lado do quadrado é igual a a , então:

p q = x = 4 a

A q = a 2

A q = x 4 2 = x 2 16

Já a circunferência tem perímetro igual a y e raio igual a r :

p c = y = 2 π r

A c = π r 2

A c = π y 2 π 2 = y 2 4 π

Passo 2

Como queremos que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras seja mínima vamos somar as áreas, e substituir os valores de a e r que encontramos em cima:

A = A q + A c

A = x 2 16 + y 2 4 π

Vamos então isolar o y da expressão do dos segmentos e substituir na fórmula da área:

y = 10 - x

Substituindo:

A = x 2 16 + 10 - x 2 4 π

Fazendo o m.m.c. temos:

A = π x 2 + 4 10 - x 2 16 π

Vamos dar uma arrumadinha:

A = π x 2 + 4 x 2 - 80 x + 400 16 π

A = x 2 ( π + 4 ) - 80 x + 400 16 π

Passo 3

A = x 2 ( π + 4 ) - 80 x + 400 16 π

Aqui temos uma função quadrática, onde:

a = π + 4 16 π

Lembrando que esse a aqui é o coeficiente do polinômio e não o lado do quadrado.

Como a > 0 então a nossa função tem a concavidade pra cima. Lembra que a gente quer a área mínima?Exatamente! O vértice da função!

Vamos calcular x v e depois substituir em y = 10 - x :

x v = - b 2 a

x v = - - 80 16 π 2 ∙ π + 4 16 π

x v = - 80 2 π + 8 = - 40 π + 4

Opa, achamos o comprimento do primeiro pedaço, agora vamos para o segundo:

y = 10 - 40 π + 4

y = 10 π + 4   - 40 π + 4

y = 10 π π + 4

Temos então que os segmentos são 40 π + 4 e 10 π π + 4 .

Resposta

40 π + 4 e 10 π π + 4

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