Enunciado

Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio r dado. Expresse o volume V do cilindro em função da altura h do cilindro.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma expressão o volume V de um cilindro que está inscrito numa esfera de raio r .

Aqui temos um esboço de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio r :

Então, precisamos construir uma expressão de V em função da altura h . Pra isso, vamos usar a fórmula do volume do cilindro, que é dado pelo produto entre a área da base vezes e a altura, ou seja:

V = A b ∙ h

V = π r 2 ∙ h

Mas antes precisamos achar o termo r 2 em função de h para substituir na fórmula do volume, então vamos lá!!

Passo 2

Vamos ver um corte frontal dessa figura, temos que um cilindro tem um triângulo retângulo que é formado pela diagonal, que é igual a duas vezes o raio da esfera, pela sua altura e sua base, mostrada na figura abaixo:

Sendo assim vamos usar Pitágoras nesse triangulo aqui:

Aplicando Pitágoras:

R 2 = r 2 + h 2 2

R 2 = r 2 + h 2 4

Passo 3

Vamos destrinchar essa expressão e isolar o raio ao quadrado da base do cilindro:

r 2 = R 2 - h 2 4 = 4 R 2 - h 2 4

Agora vamos substituir o r 2 na fórmula do volume:

V = π r 2 h

Pronto, substituindo, temos:

V = π r 2 h = π 4 R 2 - h 2 4 h = π R 2 h - h 3 4

E achamos o volume V do cilindro em função da altura h do cilindro.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

V = π R 2 h - h 3 4

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