Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

g x = 9 - x 2

Passo 1

Vamos por partes: primeiro o domínio, depois a imagem e por último vamos usar o que encontramos para esboçar o gráfico.

Passo 2

Como temos uma raiz, a única restrição que teremos no domínio da função serão os valores onde 9 - x 2 ≥ 0 . Desenvolvendo isso:

9 - x 2 ≥ 0

x 2 ≤ 9

Tirando a raiz dos dois lados:

x ≤ 3

Ou seja:

- 3 ≤ x ≤ 3

Nosso domínio fica então [ - 3 ,   3 ]

Passo 3

Agora vamos para a nossa imagem. Como temos uma raiz, sabemos que g ( x ) é pelo menos não negativa, mas temos um detalhe a mais! O x está definido em um intervalo finito, ou seja, a nossa imagem também estará. Então seria errado dizer que a imagem é g x ≥ 0 pois estaria faltando um limite superior nesse intervalo.

Vamos procurar o valor de x que maximiza a g e daí o valor da função nesse ponto será o nosso limite superior. Dá uma olhada na nossa função de novo:

g x = 9 - x 2

Que valor de x faz com que a g tenha seu valor máximo? x = 0 , né? Porque o termo de x é - x 2 . Vamos calcular g ( 0 ) para encontrar o limite superior da nossa imagem!

g 0 = 9 + 0 2 = 9 = 3

Agora sim temos a imagem da função: [ 0 ,   3 ]

Passo 4

Vamos fazer como fizemos nas últimas questões e deixar a função com uma cara mais familiar para esboçar o gráfico. Chamando g x de y pra ficar mais fácil de entender:

y = 9 - x 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

y 2 = 9 - x 2

Podemos nos livrar desse módulo porque aquilo dentro da raiz já é não-negativo.

y 2 = 9 - x 2

x 2 + y 2 = 9

Essa equação que encontramos é uma equação especial! É a equação de uma circunferência!

Relembrando:

x 2 + y 2 = r 2

Onde r é o raio da nossa circunferência.

Então o nosso gráfico vai ser algo tipo uma circunferência. Não vai ser exatamente uma circunferência completa por conta da nossa imagem. Lembra que o y ≥ 0 ? Então ficaremos somente com a parte superior da circunferência. No gráfico:

Resposta

Domínio: [ - 3 ,   3 ]

Imagem: [ 0 ,   3 ]

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