Enunciado

O arco de uma ponte tem a forma de uma semi-elipse com um vão horizontal de 40 m e com 16 m de altura no centro. Qual a altura do arco a 9 m à esquerda ou à direita do centro?

Passo 1

Com os dados do enunciado podemos fazer a seguinte representação gráfica

Assim temos que 2 a = 4 0 e b = 16 , que assim encontramos os semi-eixos dessa elipse que são a = 20 e b = 16 .

Passo 2

Agora vamos montar a equação da elipse, tomaremos como origem o centro da elipse.

x 2 20 2 + y 2 16 2 = 1

Passo 3

Vamos aplicar x = 9 na elipse e encontrarmos y que nos dará a altura do arco.

9 2 20 2 + y 2 16 2 = 1

Vamos achar o M.M.C. desta divisão

16 2 ∙ 9 2 + 20 2 y 2 20 2 ∙ 16 2 = 1

16 2 ∙ 81 + 20 2 y 2 = 400 ∙ 16 2

20 2 y 2 = 400 ∙ 16 2 - 16 2 ∙ 81

Vamos por o 16 2 em evidência

y 2 = 16 2 400 - 81 20 2

y 2 = 16 2 319 20 2

y = ± 16 2 319 20 2

y = ± 16 319 20

y = ± 4 5 ∙ 319

Como estamos trabalhando com distância somente o valor positivo vale

y = 4 5 ∙ 319 m

Resposta

y = 4 5 ∙ 319 m

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