Enunciado

Use o teorema 10.8.1 para achar a equação polar de uma cônica central cujo centro está na origem, o eixo principal está ao longo do eixo polar e de sua extensão e a distância da origem à diretriz é a e .

Passo 1

Sabendo que P ( r ,   θ ) é qualquer ponto sobre a cônica, se desenharmos essa mesma cônica em um plano cartesiano, teremos o seguinte, pessoal:

No qual as letras em vermelho são aqueles pontinhos específicos e as letras em preto são os tamanhos das retas, tudo bem? Uma das formas mais interessantes de determinarmos uma equação polar da cônica central que desenhamos, é utilizando a lei dos cossenos no triângulo P O F . Sendo assim, teremos:

P F - = C 2 + r 2 - 2 C r . cos ⁡ θ

Aqui não tem mistério, não é mesmo galera? C é a base do triângulo e r é o comprimento esquerdo O P - . No entanto, temos que descobrir C e A em função de a e e que são as variáveis da nossa equação polar, e é aqui que começa a resolução de fato!

Passo 2

Se observarmos com cuidado a figura do passo 1 segundo o teorema 10.8.1, notaremos que P F - = e . P D - . Ademais, para descobrirmos A e C vamos criar um sisteminha, saca só:

A - C = e a e - A A + C = e a e + A

Somando essas duas equações, obteremos:

2 A = 2 a   ⇒ A = a

Substituindo em qualquer uma das equações, teremos:

2 C = 2 e A

2 e a ⇒ C = e a

Agora que encontramos A e C em função de e e a , basta substituirmos lá na lei dos cossenos que escrevemos no passo 1 e pronto!

Passo 3

Substituindo A e C , teremos:

P F - = C 2 + r 2 - 2 C r . cos ⁡ θ

P F - = e 2 a 2 + r 2 - 2 r . e a . cos ⁡ θ

Ademais, utilizando um pouco de trigonometria, temos que P D - = a e - r . cos ⁡ θ , considerando que P seja equidistante à O e F . Agora que temos tudo que precisamos, basta utilizarmos a seguinte expressão:

P F - = e . P D -

e 2 a 2 + r 2 - 2 r . e a . cos ⁡ θ = e . a e - r . cos ⁡ θ

e 2 a 2 + r 2 - 2 r . e a . cos ⁡ θ = a - e r . cos ⁡ θ 2

e 2 a 2 + r 2 - 2 r . e a . cos ⁡ θ = a 2 - 2 . a . e r . cos ⁡ θ + e 2 r 2 . c o s 2 θ

r 2 - 2 r . e a . cos ⁡ θ + 2 . a . e r . cos ⁡ θ - e 2 r 2 . c o s 2 θ = a 2 - e ² a ²

r 2 - e 2 r 2 . c o s 2 θ = a 2 1 - e 2

r 2 1 - e 2 . c o s 2 θ = a ² ( 1 - e 2 )

∴ r 2 = a 2 1 - e 2 1 - e 2 . c o s ² θ

Resposta

r 2 = a 2 1 - e 2 1 - e 2 . c o s ² θ

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