Enunciado

A área marcada B é três vezes a área marcada A. Expresse b em termos de a.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá os seguintes gráficos que mostram duas áreas hachuradas A e B :

Queremos expressar b em termos de a .

Cuidado!! Estamos falando dos limites de integração e não sobre expressar B em termos de A (até porque o enunciado já nos diz que B = 3 A )!!

Bom... Se lembram como calcular a área abaixo de um gráfico?

Usando a integral, não é?

Então bora aplicar!! 😉

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que:

Parte 1:

Se f for contínua em a , b , então a função g definida por

g x = ∫ a x f t d t                                 a ≤ x ≤ b

É contínua em a , b e derivável em a , b e g ' x = f x .

Parte 2:

Se f for contínua em a , b , então

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Passo 3

Assim, aplicando em B = 3 A , temos:

∫ 0 b e x . d x = 3 ∫ 0 a e x . d x

Integrando:

e x | b 0 = 3 . e x | a 0

Aplicando os limites:

e b - e 0 = 3 . ( e a - e 0 )

e b - 1 = 3 . ( e a - 1 )

Aplicando a distributiva:

e b - 1 = 3 e a - 3

e b = 3 e a - 2

Aplicando o l n em ambos os lados:

ln ⁡ e b = ln ⁡ ( 3 e a - 2 )

Então:

b = ln ⁡ ( 3 e a - 2 )

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

b = ln ⁡ ( 3 e a - 2 )

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Se f ( x ) é continua em m ≤ f x para todo x em [a,b], provar que: m b - a ≤∫ b a f x d x Ilustrar graficamente, suponde m0 .
Mostrar que: ∫ - π π s e n 2 x c o s 5 x d x = 0
∫ 4 9 2 t √ t d t
Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível da integral a seguir. ∫ 3 4 5 x d x
∫ 0 3 x x + 1 d x