Enunciado

Seja f x = c x + ln ⁡ ( cos ⁡ x )   . Para qual valor de c ocorre f ' π 4 = 6

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de c da função

f x = c x + ln ⁡ cos ⁡ x  

sabendo que a derivada da função em π 4 é igual a 6 .

Ou seja, temos que usar essa informação da derivada para determinar qual o valor da constante c .

A ideia aqui é calcular a derivada da função f ( x ) , depois aplicar a condição de que em π 4 ela é igual a 6 , depois isolar o c para determinar seu valor.

Já temos um plano. Então...

Vamos lá!

Passo 2

Temos a função

f x = c x + ln ⁡ cos ⁡ x

E nosso primeiro passo é derivar essa função.

Então, derivando cada termos teremos:

f ' x = c x ' + ln ⁡ cos ⁡ x '

A derivada de c x é bem tranquila, pois c é uma constante. Assim:

c x ' = c

Agora, para derivar

ln ⁡ cos ⁡ x

Precisamos olhar pra ela como sendo uma função composta. Assim:

F z = f g z

f g z = ln ⁡ g z

E a regra da cadeia é

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

A derivada da de fora é a derivada de ln ⁡ , então sua derivada será dada por:

f ' g x = ln ⁡ g z ' = 1 g z

Como

g z = cos ⁡ x

ln ⁡ g z ' = 1 cos ⁡ x

Show, e a derivada da função e dentro é

g ' z = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Aplicando a regra da cadeia, teremos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 cos ⁡ x ⋅ - s en ⁡ x

Arrumando um pouco melhor, ficamos com:

ln ⁡ cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x cos ⁡ x = - tan ⁡ x

f ' x = c - tan ⁡ x

Passo 3

Agora que já temos a expressão da derivada da função, basta aplicar as condições dadas pelo enunciado.

Queremos saber o valor de c quando f ' π 4 = 6 , então vamos aplicar esse ponto na equação da derivada:

f ' π 4 = 6

c - tan ⁡ π 4   = 6

Como tan ⁡ π 4 = 1 , temos:

c - 1 = 6

E isolando c , obtemos:

c = 7

E chegamos ao nosso valor pedido.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 7

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Encontre f ' ( x ) f (x) = t g sqrt(x)
Encontre f ' ( x ) f (x) = sqrt(cos (5 x))
Encontre f ' ( x ) f (x) = cos^2 (3 sqrt(x))
Encontre d y // d x y = sqrt(x) t g^3 ( sqrt(x) )