Enunciado

Considere a função diferenciavel f ( x , y ) , onde x = g u , v = v cos ⁡ ( π + u ) + e u v e y = h u , v = u 2 - v 2 . Sabendo que ∂ f ∂ x - 1 , - 4 = 3 e ∂ f ∂ y - 1 , - 4 = 2 , determine ∂ F ∂ u 0,2 e ∂ F ∂ v 0,2 da função F u , v = f g u , v , h ( u , v ) .

Passo 1

Bom galera, pra começar vamos dar uma pequena relembrada na formulinha da regra da cadeia:

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

E também pra outra variavel fica:

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Passo 2

Belezinha, agora tenho que mostrar outra coisinha bem importante, a questão pede a derivada em relação a u e v no ponto ( 0,2 ) , não é?

Então vamos descobrir o x e o y nesse ponto:

x = g 0,2 = 2 cos ⁡ π + 0 + e 0 2

→ x = 2 cos ⁡ π + 1

→ x = - 2 + 1 = - 1

Agora encontramos y :

y = h 0,2 = ( 0 ) 2 - ( 2 ) 2

→ y = - 4

Então, da pra perceber que para a função em relação a x e y a gente precisa dos valores no ponto ( - 1 , - 4 ) que a questão nos dá, sorte né😊

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos ir de fato pra regra da cadeia. Primeiro em relação a u :

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

→ ∂ f ( 0,2 ) ∂ u = ∂ f ( - 1 , - 4 ) ∂ x ⋅ ∂ ( v cos ⁡ π + u + e u v ) ∂ u + ∂ ( - 1 , - 4 ) ∂ y ⋅ ∂ ( u 2 - v 2 ) ∂ u

Agora colocamos os valores que a questão deu e derivamos:

∂ f ( 0,2 ) ∂ u = 3 ⋅ - v sin ⁡ ( π + u ) + e u v ⋅ v + 2 ⋅ 2 u

Aplicamos os valores de u e v :

∂ f 0,2 ∂ u = 3 ⋅ - 2 sin ⁡ π + 0 + e 0 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 0

Calculamos isso:

∂ f ( 0,2 ) ∂ u = 3 ⋅ - 2 sin ⁡ π + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0

→ ∂ f ( 0,2 ) ∂ u = 3 ⋅ 0 + 2

→ ∂ f ( 0,2 ) ∂ u = 3 ⋅ 2 = 6

Passo 4

Por fim fazemos o mesmo em relação a v , bora lá:

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

→ ∂ f ∂ v ( 0,2 ) = ∂ f ∂ x ( - 1 , - 4 ) ⋅ ∂ ( v cos ⁡ ( π + u ) + e u v ) ∂ v + ∂ f ∂ y ( - 1 , - 4 ) ⋅ ∂ ( u 2 - v 2 ) ∂ v

Botamos os valores que a questão deu e derivamos:

∂ f ∂ v 0,2 = 3 ⋅ cos ⁡ π + u + e u v u + 2 ⋅ - 2 v

Agora substituimos as variaveis pelos valores do ponto:

∂ f ∂ v 0,2 = 3 ⋅ cos ⁡ π + 0 + e 0 2 ( 0 ) + 2 ⋅ - 2 2

→ ∂ f ∂ v 0,2 = 3 ⋅ cos ⁡ π + 0 + 2 ⋅ - 4

→ ∂ f ∂ v 0,2 = 3 ⋅ - 1 - 8 = - 11

E prontinho. 😊

Resposta

∂ f ( 0,2 ) ∂ u = 6

∂ f ∂ v 0,2 = - 11

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