Enunciado

Se o arco da curva no Exercício 50 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante usando a Regra de Simpson com n = 4 .

Passo 1

Queremos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva x = 2 a   c o t g   θ ,     y = 2 a s e n 2 θ     c o m π 4 ≤   θ ≤ π 2 , em torno do eixo x , usando a Regra de Simpson com n = 4 .

Sabemos que a área de uma superfície é S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que d s =   d x d t 2 + d y d t 2

Então vamos lá!

S = ∫ a b 2 π y   d s = ∫ π / 4 π / 2 2 π 2 a s e n 2 θ csc 4 ⁡ θ + s e n 2 θ d θ

A Regra de Simpson com n = 4 nos dá:

∆ θ = π 2 - π 4 4 = π 16

E f θ = s e n 2 θ csc 4 ⁡ θ + s e n 2 2 θ  

Assim, nossa superfície fica:

S ≈ 4 π a π 48 f π 4 + 4 f 5 π 16 + 2 f 3 π 8 + 4 f 7 π 16 + f π 2 = 11,0893 a

Resposta

S ≈ 11,0893 a

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Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule a área limitada por ela r = 1 + 2 s en ⁡ 6 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 4 s en ⁡ θ r = 2
Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule a área limitada por ela r = 2 sen ⁡ θ + 3 sen ⁡ 9 θ