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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 62

Encontre a área exata da superfícies obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x .

x = 3 t - t 3 ,       y = 3 t 2 ,         0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oii, tudo certinho?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas para o intervalo 0 ≤ t ≤ 1 :

x = 3 t - t 3

y = 3 t 2

Precisamos encontrar a área S da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do eixo x .

Sabemos que a área de uma superfície é dada pela seguinte integral:

S = ∫ a b 2 π y   d s

Sendo que d s =   d x d t 2 + d y d t 2 .

Agora é só aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada d x d t :

d x d t = d d t 3 t - t 3 ∴

d x d t = 3 - 3 t 2

Agora para a derivada d y d t , temos:

d y d t = d d t 3 t 2 ∴

d y d t = 6 t

Com essas derivadas, a gente encontra d s :

d s =   d x d t 2 + d y d t 2 ∴

d s = 3 - 3 t 2 2 + 6 t 2

Agora vamos para a integral!!

Passo 3

Substituindo y e d s na integral e aplicando no intervalo   0 ≤ t ≤ 1 , temos:

S =   ∫ 0 1 2 π 3 t 2 3 - 3 t 2 2 + 6 t 2   d t  

Retirando as constantes para fora da integral e elevando os termos ao quadrado dentro da raiz, temos:

S = 6 π ∫ 0 1 t 2 9 - 18 t 2 + 9 t 4 + 36 t 2   d t  

S = 6 π ∫ 0 1 t 2 9 + 18 t 2 + 9 t 4   d t  

Podemos simplificar o termo dentro da integral da seguinte forma:

S = 6 π ∫ 0 1 t 2 3 + 3 t 2 2   d t  

“Cancelando” a raiz com o termo ao quadrado, temos:

S = 6 π ∫ 0 1 t 2 ( 3 + 3 t 2 )   d t  

S = 6 π ∫ 0 1 3 t 2 + 3 t 4   d t  

Resolvendo a integral:

S = 6 π t 3 + 3 5 t 5 0 1

S = 48 π 5

Resposta

S = 48 π 5

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