Enunciado

Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

14. y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 ;     y 0 = 1 ;     y ' 0 = 1

Passo 1

Ao aplicarmos a transformada, podemos usar a sua linearidade para escrever cada termo separado:

L y ' ' - 4 y ' + 4 y = L y ' ' - 4 L y ' + 4 L y

Cada transformada separada pode ser escrita assim:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

4 L y ' = 4 ( s Y s - y 0 )

4 L y = 4 Y ( s )

Onde Y é a transformada da função y

A equação fica:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 4 s Y s - y 0 + 4 Y s = 0

Passo 2

Agora podemos substituir as condições iniciais:

s 2 Y s - s - 1 - 4 s Y s - 1 + 4 Y s = 0

s 2 Y s - s - 1 - 4 s Y s + 4 + 4 Y s = 0

s 2 Y s - 4 s Y s + 4 Y s - s + 3 = 0

Para poder isolar Y ( s ) :

Y s s 2 - 4 s + 4 = s - 3

Y s = s - 3 s 2 - 4 s + 4

Como dessa forma a gente não sabe qual é a transformada inversa, vamos reescrever o denominador:

Y s = s - 3 s - 2 2

E aplicar frações parciais:

s - 3 s - 2 2 = A s - 2 + B s - 2 2  

Tiramos MMC:

s - 3 s - 2 2 = A s - 2 + B s - 2 2

Simplificando dos dois lados:

s - 3 = A s - 2 + B

s - 3 = A s + ( B - 2 A )

Por comparação, vemos que:

A = 1

E:

- 3 = B - 2 A

Substituindo A :

- 3 = B - 2

B = - 1

Nossa Y ( s ) fica:

Y s = s - 3 s - 2 2 = 1 s - 2 + - 1 s - 2 2  

Y s = 1 s - 2 - 1 s - 2 2

Passo 3

Pela tabela a gente tem:

e a t → 1 s - a

E:

t n e a t → n ! s - a n + 1

Então, na nossa Y ( s ) :

Y s = 1 s - 2 - 1 s - 2 2

Temos:

L - 1 1 s - 2 = e 2 t

E:

L - 1 1 s - 2 2 = t e 2 t

E a transformada inversa de Y ( s ) é:

y t = L - 1 Y s

y t = e 2 t - t e 2 t

Resposta

y t = e 2 t - t e 2 t

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