Avalie a integral.

∫ y cosh ⁡ a y d y

Passo 1

Sabe aquele problema “mamão com açúcar”? Pois é esse! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = y                     ;                 d u = d y

d v = cosh ⁡ a y d y                     ;                       v = sinh ⁡ a y a

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ y cosh ⁡ a y d y = 1 a y sinh ⁡ a y - ∫ 1 a sinh ⁡ a y d y

Organizando, temos

∫ y cosh ⁡ a y d y = 1 a y sinh ⁡ a y - 1 a ∫ sinh ⁡ a y d y

Sabendo que ∫ sinh ⁡ a y d y = - 1 a cosh ⁡ a y + C , logo :

∫ y cosh ⁡ a y d y = 1 a y sinh ⁡ a y - 1 a 2 cosh ⁡ a y + C

Uma observação bem básica, você pode perceber que a integral do cosseno hiperbólico ou do seno é basicamente igual a integral do seno e cosseno da seguinte forma:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x + C

E por hoje é só, pessoal!

Resposta

∫ y cosh ⁡ a y d y = 1 a y sinh ⁡ a y - 1 a 2 cosh ⁡ a y + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados