Enunciado

Avalie a integral.

int y cosh a y d y

Passo 1

Sabe aquele problema “mamão com açúcar”? Pois é esse! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = y ; d u = d y

d v = cosh a y d y ; v = (sinh a y)/(a)

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int y cosh a y d y = (1)/(a) y sinh a y - int (1)/(a) sinh a y d y

Organizando, temos

int y cosh a y d y = (1)/(a) y sinh a y - (1)/(a) int sinh a y d y

Sabendo que int sinh a y d y = - (1)/(a) cosh a y + C , logo :

int y cosh a y d y = (1)/(a) y sinh a y - (1)/(a^2) cosh a y + C

Uma observação bem básica, você pode perceber que a integral do cosseno hiperbólico ou do seno é basicamente igual a integral do seno e cosseno da seguinte forma:

int cos ( a x ) d x = (1)/(a) sin a x + C

E por hoje é só, pessoal!

Resposta

int y cosh a y d y = (1)/(a) y sinh a y - (1)/(a^2) cosh a y + C

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