Enunciado

Avalie a integral.

int (ln (x + 1))/(x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln (1 + x)

Assim, temos o nosso d u :

d u = (1)/(( 1 + x )) d x

O nosso d v é:

d v = (d x)/(x^2)

v = - (1)/(x)

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

int u d v = u v - int v d u

Portanto:

int (ln (x + 1))/(x^2) d x = - ln (1 + x) xx (1)/(x) - int - (1)/(x) xx (1)/(( 1 + x )) d x

Calculando...

= - ln (1 + x) xx (1)/(x) - int - (1)/(x ( 1 + x )) d x

Usando frações parciais na segunda integral, temos:

(1)/(x ( 1 + x )) = (A)/(x) + (B)/(1 + x)

Resolvendo temos que A = 1 e B = - 1 , portanto

= - ln (1 + x) xx (1)/(x) + int (1)/(x) - (1)/(( 1 + x )) d x

Agora, resolvendo a integral:

= - ln (1 + x) xx (1)/(x) + ln |x| - ln |x + 1| + C

Prontinho!!

Resposta

int (ln (x + 1))/(x^2) d x = - ln (1 + x) xx (1)/(x) + ln |x| - ln |x + 1| + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As Equações 4 e 5 dão fórmulas diferentes para a integral de cos - 1 ⁡ x 71 – ∫ cos - 1 ⁡ xd x = x cos - 1 ⁡ x - s e n ( cos - 1 ⁡ x ) + c ∫ cos - 1 ⁡ xd x = x c o s - 1 x - 1 - x 2 + c As duas integr
Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:63 - ∫ x n e a x d x =x n e a x a - n a ∫ x n - 1 e a x d x
Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:62 - ∫ x n s e n xd x = - x n c o s x + n ∫ x n - 1 c o sxd x
Use a fórmula: ∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y , sendo y = f - 1 ( x ) Expresse suas respostas em termos de x:70 – ∫ log 2 ⁡ xd x
Mostre que:65 - int_a^b ( int_x^b f (t) d t ) d x = int_a^b ( x - a ) f ( x ) d x