Avalie a integral.

∫ ln ⁡ x + 1 x 2 d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln ⁡ 1 + x  

Assim, temos o nosso d u :

  d u = 1 ( 1 + x ) d x

O nosso d v é:

d v = d x x 2

v = - 1 x

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Portanto:

∫ ln ⁡ x + 1 x 2 d x = - ln ⁡ 1 + x × 1 x - ∫ - 1 x × 1 ( 1 + x ) d x

Calculando...

= - ln ⁡ 1 + x × 1 x - ∫ - 1 x ( 1 + x ) d x

Usando frações parciais na segunda integral, temos:

1 x ( 1 + x ) = A x + B 1 + x

Resolvendo temos que A = 1 e B = - 1 , portanto

= - ln ⁡ 1 + x × 1 x + ∫ 1 x - 1 ( 1 + x ) d x

Agora, resolvendo a integral:

= - ln ⁡ 1 + x × 1 x + ln ⁡ x - ln ⁡ x + 1 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ ln ⁡ x + 1 x 2 d x = - ln ⁡ 1 + x × 1 x + ln ⁡ x - ln ⁡ x + 1 + C

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