Enunciado

Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:

62 - ∫ x n s e n x   d x = - x n c o s x + n ∫ x n - 1 c o s   x   d x

Passo 1

Primeiramente, devemos identificar os coeficientes presentes na função dada: f x g ( x ) = x n s e n x , temos que o termo independente é o x n e que o termo trigonométrico sen ⁡ x será nossa segunda parte:

Assim temos:

u = x n – Ele sempre será o termo livre na integral.

d u = n x n - 1 d x – du é a derivada de u, como a equação esta procurando um termo para um expoente n, seguimos a regra de derivação, onde multiplica o termo pelo expoente, e subtrai este expoente por 1.

d v = s e n x   d x – Será o nosso termo trigonométrico.

v = - c o s x   – Este termo é primitiva de dv, ou seja ∫ s e n x   d x =   - c o s x .

Passo 2

Agora inserimos nossa equação na forma: ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

u v = u * v = x n * - cos ⁡ x = - x n c o s x

∫ x n s e n x   d x = - x n c o s x - ∫ - c o s x * n x n - 1 d x

Passo 3

Resolvendo a integral acima temos:

∫ x n s e n x d x = - x n c o s x - ∫ - c o s x * n x n - 1 d x

∫ x n s e n x   d x = - x n c o s x - ∫ - n x n - 1 c o s x   d x = Observe que como n esta multiplicando, e ele é uma constante qualquer, ele poderá sair da integral, ficando assim:

∫ x n s e n x   d x = - x n c o s x + n ∫ x n - 1 c o s x d x

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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