Enunciado

Avalie a integral.

int_(- 1)^2 (3 u - 2) (u + 1) d u

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (3 u - 2) (u + 1) d u = int 3 u^2 + 3 u - 2 u - 2 d u = int 3 u^2 + u - 2 d u =

= int 3 u^2 d u + int u d u + int - 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int 3 u^2 d u + int u d u + int - 2 d u = 3 int u^2 d u + (u^(1 + 1))/(1 + 1) - 2 u + C = 3 * (u^(2 + 1))/(2 + 1) + (u^2)/(2) - 2 u + C = 3 * (u^3)/(3) + (u^2)/(2) - 2 u + C = u^3 + (u^2)/(2) - 2 u + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_(- 1)^2 (3 u - 2) (u + 1) d u = (u^3 + (u^2)/(2) - 2 u)_(- 1)^2 =

= 2^3 + (2^2)/(2) - 2 * 2 - ((- 1)^3 + ((- 1)^2)/(2) - 2 * (- 1)) =

= 8 + (4)/(2) - 4 - (- 1 + (1)/(2) + 2) = 4 + 2 - (1 + (1)/(2)) = 6 - (3)/(2) = (12 - 3)/(2) = (9)/(2)

Resposta

int_(- 1)^2 (3 u - 2) (u + 1) d u = (9)/(2)

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