Enunciado

Encontre o centroide da região.

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

overset(-)(x) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b x ( f (x) - g (x) ) d x

overset(-)(y) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b (1)/(2) [(f (x))^2 - (g (x))^2] d x

Passo 2

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada overset(-)(x) :

overset(-)(x) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b x ( f (x) - g (x) ) d x

No eixo x nossa região está entre 0 e 1 , e no eixo y , nossa região está entre y = f (x) = x (por cima) e y = g (x) = 0 (por baixo).

A área pode ser calculada pela integral:

á r e a d e R = int_0^1 x - 0 d x = (1)/(2)

Nossa integral fica:

overset(-)(x) = 2 int_0^1 x (x - 0) d x = 2 int_0^1 x^2 d x = (2)/(3)

Passo 3

Agora a coordenada overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b (1)/(2) [(f (x))^2 - (g (x))^2] d x

overset(-)(y) = 2 int_0^1 (1)/(2) ((x)^2 - (0)^2) d x = (1)/(3)

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((2)/(3) , (1)/(3))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo e (quando for necessário) a Fórmula (18) da Seção 5.10 para encontrar as derivadas. d d x ∫ e x ln ⁡ t 2 d t
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo e (quando for necessário) a Fórmula (18) da Seção 5.10 para encontrar as derivadas. d d x ∫ 2 sin ⁡ x 1 1 + t 3 d t
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo e (quando for necessário) a Fórmula (18) da Seção 5.10 para encontrar as derivadas. d d x ∫ 0 x e t 2 d t
Defina a função f por f x = 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 Segue, pelo Teorema 5.5.8(b), que f não é integrável no intervalo [ 0 ,1 ] . Aplique a Definição 5.5.1 para provar que isso realmente ocorre. [Sugestã
Enuncie as duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo e explique qual o significado da frase “diferenciação e integração são processos inversos”.