Avalie a integral.

∫ x 3 + 4 x + 3 x 4 + 5 x 2 + 4 d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações com expoente no denominador maior que o do numerador. Vamos verificar se o denominador é redutível. Sendo ele redutível, podemos transforma-lo:

x 3 + 4 x + 3 x 4 + 5 x 2 + 4 = x 3 + 4 x + 3 ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 )

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

x 3 + 4 x + 3 ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 ) = A x + B ( x 2 + 1 ) + C x + D ( x 2 + 4 )

Multiplicando tudo por ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 ) , temos:

x 3 + 4 x + 3 = ( A x + B ) x 2 + 4 + ( C x + D ) ( x 2 + 1 )

Resolvendo isso temos que:

x 3 + 4 x + 3 = A x 3 + 4 A x + B x 2 + 4 B + C x 3 + C x + D x 2 + D

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 1

B + D = 0

4 A + C = 4

4 B + D = 3

Resolvemos então os sistemas, multiplicando por ( - 1 ) uma das equações

- A - C = - 1

4 A + C = 4

Nessa primeira temos que A = 1 e C = 0 . Resolvendo o segundo sistema:

- B - D = 0

4 B + D = 3

Os valores são B = 1 e D = - 1 .

Substituimos:

x 3 + 4 x + 3 ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 ) = x + 1 ( x 2 + 1 ) - 1 ( x 2 + 4 )

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

∫ x 3 + 4 x + 3 ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 ) d x = ∫ x + 1 ( x 2 + 1 ) d x - ∫ 1 ( x 2 + 4 ) d x

Separamos as frações em duas, para cada integral:

= ∫ x ( x 2 + 1 ) + 1 ( x 2 + 1 ) d x - ∫ 1 ( x 2 + 4 ) d x

= ∫ x ( x 2 + 1 ) d x + ∫ 1 ( x 2 + 1 ) d x - ∫ 1 ( x 2 + 4 ) d x

Usamos substituição para a primeira integral u = x 2 + 1 e d u = 2 x d x :

= 1 2 ∫ 1 u d u + ∫ 1 ( x 2 + 1 ) d x - ∫ 1 ( x 2 + 4 ) d x

Integramos e substituímos o valor de u :

= 1 2 ln ⁡ | u | + arctan ⁡ x - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

= 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + arctan ⁡ x - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

Então,

∫ x 3 + 4 x + 3 x 4 + 5 x 2 + 4 d x = 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + arctan ⁡ x - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 3 + 4 x + 3 x 4 + 5 x 2 + 4 d x = 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + arctan ⁡ x - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

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